Théorie des ensembles
Relation d'ordre

Les relations d'équivalence permettent de classer les éléments d'un ensemble selon des critères déterminés : les droites d'un plan parallèle à une direction donnée, les entiers qui, divisés par un entier donné ont même reste, la relation d'égalité, etc. Les relations d'ordre, que nous allons maintenant étudier, commandent le classement des éléments d'un ensemble les uns par rapport aux autres ; elles s'énoncent, en général, de la sorte :

" est inférieur ou égal à " (symbole : )
" est supérieur ou égal à " (symbole: )

Lorsqu'on considère une telle relation dans un ensemble E, on dit que E est ordonné par cette relation, ou que celle-ci définit sur E une structure d'ensemble ordonné (ou encore : une structure d'ordre, ou un ordre). Deux structures d'ordre sont familières à nos lecteurs : l'ordre numérique (croissant ou décroissant) et l'ordre alphabétique (qui concerne les ensembles de mots); dans les deux cas, on emploie les mêmes symboles :

3<4; a < b; etc.

Il existe, bien entendu, d'autres structures d'ordre : la théorie ensembliste a l'avantage d'être valable pour toutes les relations d'ordre possibles.

Définition

On appelle relation d'ordre définie sur un ensemble E une relation binaire, réflexive, antisymétrique et transitive, notée

"" ou "".

La réflexivité entraîne x x (ou x x). On notera que ce n'est pas le cas pour la relation " < " (ou " > "), car on ne peut avoir x < x (ni x > x) : les relations " strictement supérieur à " et " strictement inférieur à " ne sont pas des relations d'ordre.

L’antisymétrie conduit à écrire :

" x y et y x entraîne x = y "

La transitivité conduit à écrire :

" xy et y z entraîne xz "

Il est prié de ne pas se laisser abuser par la notation "" : x, y et z peuvent être des nombres, certes, mais aussi d'autres éléments comme des points sur une courbe, dont on étudie les positions relatives, ou d'autres objets. On pourrait, tout aussi bien, écrire les relations d'ordre comme les relations binaires en général, sous la forme R(x, y) ; les trois propriétés s'écriraient alors :

R (x, x), " R(x, y) et R(y, x) " entraîne " x = y ",

" R(x, y) et R(y, z) " entraîne R(x, z).

Relation d'ordre réciproque d'une relation d'ordre

Si, pour tout x et pour tout y appartenant à E, il existe une relation R(x, y) équivalente à R(y, x), R est une relation d'ordre dite relation d'ordre réciproque (ou opposée) de R.

Ordre total et ordre partiel

Si la relation d'ordre R est toujours vérifiée pour deux éléments quelconques, x et y, de l'ensemble E, l'ordre est dit total et l'ensemble E muni d'une telle relation est un ensemble totalement ordonné. Par exemple, dans l'ensemble R des réels, la relations "" est toujours vérifiée quels que soient les réels x et y, car on a nécessairement :

- soit xy ;
- soit yx.

En langage ensembliste, la condition pour qu'une relation d'ordre soit une relation d'ordre total s'écrit :

(le symbole "" entre deux termes A et B signifie; " A ou B ", équivalent à : soit A, soit B, soit les deux à la fois " ; c'est le symbole de la disjonction). Si cette condition n'est pas établie, R(x, y) est une relation d'ordre partiel; par exemple la relation dans définie par:

R(x, y) " x est un diviseur de y "

(notée par le symbole " / ") est bien une relation d'ordre (elle est réflexive, antisymétrique et transitive), mais elle ne peut être vérifiée que pour certains couples (x, y) : c'est une relation d'ordre partiel.

Relation d'ordre strict

Soit un ensemble E ordonné par une relation d'ordre R; on appelle relation d'ordre strict la relation binaire S définie par:

On vérifie aisément que S n'est pas une relation d'ordre et que, si R est notée "", S est notée "<".

Ensembles bornés

Soit E un ensemble muni d'une relation d'ordre total, que nous noterons "" sans rien préjuger de la nature des éléments qui composent cet ensemble. On appelle intervalle dans E toute partie I de E telle que :

Autrement dit : pour tout couple (x, y) d'éléments appartenant à I, si z est compris entre x et y, alors z appartient aussi à I.

Considérons maintenant un intervalle I de l'ensemble E et deux éléments déterminés a et b de cet ensemble, ordonné par la relation "" et tels que ab. Soit x un élément quelconque de I; nous pouvons caractériser l'intervalle I par une relation d'ordre et/ou par une relation d'ordre strict ("<" ; voir ci-dessus) : les différents types d'intervalles obtenus sont décrits dans le tableau ci-dessous.

Majorants et minorants

Soit un ensemble E, ordonné par une relation d'ordre total R(x, y), notée "", et soit x une partie de E. Un élément x de E tel que, pour tout , on ait

est appelé majorant du sous-ensemble X. On notera que x n'appartient pas nécessairement à X De même, si, pour tout z de X, on a:

on dit que x est un minorant pour X; x n'appartient pas nécessairement à X.

Le plus petit des majorants de l'ensemble X, s'il existe, est appelé borne supérieure de cet ensemble, et noté
" sup X " ; le plus grand des minorants de X, s'il existe, est sa borne inférieure, notée " inf X ". Enfin, un ensemble ordonné dont toute partie à deux éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure est appelée un treillis.

Application (fonction) croissante ou décroissante

Il est évident qu’avant de comprendre cette notion il faut être familiarisé avec la notion de fonction croissante ou décroissante dans un intervalle donné lorsqu'il s'agit de fonction d'une variable réelle ; cette notion est un aspect particulier des propriétés des applications que nous allons maintenant définir d'une manière générale (voir la définition des applications).

Soit f une application de E vers F, les ensembles E et F étant munis d'une relation d'ordre R que nous noterons " " sans préjuger de la nature des ensembles considérés (dans le cas particulier où f est une fonction d'une variable réelle, E = et F = ). Si, pour tout x appartenant à E et pour tout y appartenant à E, on a l'implication:

l'application f est dite croissante (l'ordre des antécédents x et y et l'ordre des images et correspondantes est le même). Si, au contraire, on a :

l'application f st dite décroissante (l'ordre des images est opposé à l'ordre des antécédents).

On définit de la même façon les applications strictement croissantes et strictement décroissantes. Si :

l'application est strictement croissante (remarquez bien le signe "<" entre et ). Si:

l'application est strictement décroissante.