Théorie des ensembles
Relation d'inclusion
Un ensemble est noté par une lettre capitale. En français on emploie souvent la lettre E et les lettres qui la suivent (F, G, ... ) ; en anglais, on emploie S (initiale de set) et en allemand M (initiale de Menge). Les éléments d'un ensemble se notent par des minuscules italiques (a, b,..., x). L'appartenance d'un élément x à un ensemble E s'écrit
la négation de cette propriété s'écrit:
.
L'ensemble qui ne contient aucun élément est l'ensemble vide, qui se note 
.
Un ensemble fini est un ensemble qui possède un nombre fini (éventuellement très grand) d'éléments; ce
nombre est le cardinal de l'ensemble. Lorsque le nombre d'éléments
d'un ensemble peut devenir aussi grand que l'on veut, l'ensemble est dit infini
Étant donné un ensemble E et une propriété d'un élément de E, tous les éléments
de E qui possèdent cette propriété forment un
nouvel ensemble qu'on appelle un sous-ensemble de E ou une partie de E. Soit, par exemple, l'ensemble
il contient 8 parties ou sous-ensembles qui sont : 
.
L'ensemble des parties de E se note P(E). Si E est un ensemble
fini de cardinal n, l'ensemble P(E) contient 2n éléments
(dans notre exemple, n = 3 et l'ensemble P(E) contient 23 = 8 parties).
Soit X et Y deux parties d'un ensemble E ;
si la propriété 
entraîne la propriété 
(c'est-à-dire
si tout élément de X est aussi un élément
de Y), on dit que X est inclus dans Y ou, ce qui revient
au même, que Y contient X Cette relation entre X et Y est appelée relation d'inclusion, elle s'écrit
indifféremment:
La négation de cette relation s'écrit 
On a, en
particulier, quelle que soit la partie X de E
Soit A une partie de E et x un élément de E.
L'ensemble des éléments x qui possèdent,
en outre, la propriété 
n'est autre que l'ensemble A. L'ensemble des éléments
de E qui ne possèdent pas cette propriété, c'est-à-dire
pour lesquels 
,
forment l'ensemble complémentaire de A (dans E), qu'on
note CA(complémentaire de A) ou E - A.
On écrit aussi 
,
lorsque l'ensemble E ne fait aucun doute.
Exemple:
