Théorie des ensembles
Relation d'équivalance

Définition

Une relation d'équivalence est une relation binaire qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive. On peut l'écrire R(x, y), comme toutes les relations; si l'on veut souligner son caractère, on peut aussi l'écrire:

qui peut se lire de trois façons :

- x congru à y modulo (= " selon le mode ") R ;

- x équivalent à y modulo R ;

- x équivalent à y (lorsqu'il n'y a pas de confusion possible).

Exemples

La relation R: " est parallèle à " est une relation qu'on peut définir dans l'ensemble E des droites d'un plan. Elle signifie que les deux droites et auxquelles elle s'applique n'ont aucun point commun ou sont confondues. Elle est réflexive (une droite est toujours confondue avec elle-même, donc R(x,x) est toujours vraie), symétrique (si x est parallèle à y alors y est parallèle à x), et transitive (" x // y et y // z " => " x // z ") : c'est donc une relation d'équivalence et l'on peut écrire

ce qui exprime que la droite x est équivalente à la droite y modulo R dans le plan considéré. Concrètement cela signifie que les droites x et y sont équivalentes en ce qui concerne leur direction (ainsi que toutes les droites du plan parallèles à x).

Voici maintenant un exemple arithmétique important. Considérons l'ensemble (les entiers et le zéro) ; soit x et y deux entiers dont la division par 3 donne le même reste, par exemple 2. Appelons R la relation entre x et y entiers définie par:

R(x, y) " la division de x par 3 donne le même reste que la division de y par 3 "

nous écrirons :

ou, en convenant dans ce cas précis de désigner R par le nombre diviseur:

Par exemple, les nombres x = 17 et y = 23 respectent la relation R; on peut donc écrire:

Tous les entiers qui divisé par 3, donnent pour reste 2 constituent une classe d’équivalence pour la relation R. Par exemple, 5 divisé par 3 donne comme reste 2 ; tous les entier a_i tels que :

sont équivalents à 5 pour la relation considérée ils constituent la classe d'équivalence C₁, qui est une partie de . C₁ = { 2,5,8 11, ...} De même tous les entiers b_i tels que : forment la classe d'équivalence C₂ = { 1, 4, 7, 10, …} et ainsi de suite. La relation R permet donc de réaliser une partition de l'ensemble ; inversement, toute partition de définit sur une relation d'équivalence. Ce résultat est général et s'énonce ainsi :

Étant donné un ensemble E et une relation d'équivalence R définie sur E, cette relation détermine une partition de E en classes d'équivalences A₁, A₂... ; inversement, toute partition de E définit une relation d'équivalence sur E.

L'ensemble {A₁, A₂, ...} des classes d'équivalence ainsi définies est appelé ensemble quotient de l'ensemble E par la relation R et s'écrit E/R.