Théorie des ensembles
Propriétés des relations binaires

Les relations R (x, y) peuvent posséder ou ne pas posséder quatre propriétés qu'on appelle: réflexivité, symétrie, transitivité et antisymétrie.

Réflexivité

Une relation R définie sur un ensemble E est dite réflexive si et seulement si :

Par exemple, dans l'ensemble des entiers naturels, la relation R : " est diviseur de " est réflexive, car, pour tout x appartenant à cet ensemble, on a:

c'est-à-dire " x est diviseur de x ".

Symétrie

Une relation R définie sur un ensemble E est symétrique si et seulement si

Dans l'ensemble des entiers, la relation R : " est diviseur de " n'est pas symétrique, puisque " x est diviseur de y " n'implique pas " y est diviseur de x ", pour tout x et pour tout y appartenant à E. En revanche, dans l'ensemble des droites d'un plan, la relation " est parallèle à " est symétrique, car si la droite x est parallèle à la droite y, y est parallèle à x.

Transitivité

Une relation R définie sur un ensemble E est dite transitive si et seulement si :

Exemple: la relation d'égalité entre deux éléments d'un ensemble (éléments qui peuvent être, on le rappelle, des nombres, des fonctions, des objets mathématiques divers, peu importe) est une relation transitive. En effet, pour tout triplet (x, y, z) d’éléments de E, si l'on a:

" x = y et y = z "

on a nécessairement :

" x = z ".

De même, la relation " est parallèle à " est transitive : si l'on a x // y et y // z, on a aussi x // z (c'est le théorème bien connu des collégiens : si deux droites x et z sont parallèles à une même troisième, y, elles sont parallèles entre elles).

Antisymétrie

Une relation R définie sur un ensemble E est dite antisymétrique si et seulement si la relation " R (x, y) et R (y, x) " entraîne, pour tout et pour tout , x = y. Cette propriété s'écrit: