Théorie des ensembles
Relations binaires

Notation

Entre les éléments d'un ensemble, il peut évidemment exister des relations ; lorsqu'elles portent sur deux variables, elles sont dites binaires ; mais elles peuvent être aussi ternaires (sur trois variables) ou n-aires (sur n variables). Nous allons nous intéresser aux relations binaires. Les relations qu'on peut établir entre deux variables x et y d'un ensemble dépendent de la nature de cet ensemble. Par exemple, la relation R " est parallèle à ", n'a pas de sens dans l'ensemble des nombres entiers, mais elle en a un dans l'ensemble des droites d'un plan. Inversement, la relation " est divisible par " n'a de sens qu'entre deux nombres et n'a aucune signification dans un ensemble de points géométriques ou dans un plan.

Soit donc x et y deux variables d'un ensemble E, et R une relation entre ces deux variables ; la notation R(x, y) signifie que le couple (x, y) vérifie la relation R qui est une relation binaire. Si E est l'ensemble des droites d'un plan, par exemple, la relation " est parallèle à " peut s'appliquer à deux droites x et y de ce plan convenablement choisies ; on écrira :

R (x, y) :  " x est parallèle à y ",

La négation de R se note " non R " ou . Avec notre exemple, on aurait:

(x, y) : " x n'est pas parallèle à y ".

Une relation qui est vraie quelle que soit la valeur des éléments sur lesquels elle porte est une identité. Si la vérité d'une relation R entre deux éléments entraîne la vérité d'une relation S entre ces éléments, on écrit cette implication :

( " R implique S ")

Si chacune des relations implique l'autre, on peut écrire:

mais plus simplement:

les relations R et S sont alors dites équivalentes. Par exemple, si E est l'ensemble des droites d'un Plan, et si l'on pose :

R: " est parallèle à ",

S: " n'a aucun point commun avec ",

R et S sont équivalentes, car; on écrira donc.

Quantificateurs

La phrase: " Quel que soit x, R(x, y) ", qui signifie que la relation R(x, y) est vraie pour toute les valeurs de x, s’écrit:

le symbole "   " (" quel que soit ", ou " pour tout ") est appelé quantificateur universel. La phrase: " Il existe au moins un x tel que R(x, y) ", se note:

le symbole "  " est appelé quantificateur existentiel.

Si E = {ensemble des droites d'un plan}, et si (x, y) est un couple quelconque de droites, la relation R(x, y) : " x est parallèle à y ", n’est pas vraie quelle que soit la droite x choisie ; elle ne peut donc être précédée de. En revanche, il y a, dans le plan, au moins une droite x qui satisfasse à la relation R (x, y ), qu'on peut donc faire précéder de.