Théorie des ensembles
Opérations sur des ensembles

Égalité

Le signe " = " entre deux symboles A et B signifie que A et B représentent le même objet; on dit encore qu'entre A et B existe une relation d'égalité. La négation de cette relation est .

Réunion

Soit X et Y deux ensembles ; l'ensemble S des éléments qui appartiennent à l'un au moins des ensembles X ou Y s'appelle la réunion de X et Y. Cette opération s'écrit:

Intersection

Soit X et Y deux ensembles ; l'ensemble P des éléments qui appartiennent à la fois aux deux ensembles X et Y s'appelle l'intersection des deux ensembles et s'écrit:

Recouvrement d'un ensemble E

Ensemble (X_i) d'ensembles dont la réunion est E :

Partition d'un ensemble E

Recouvrement (X_i) de E tel que, pour tout couple d'indices ( j, k) différents . C'est donc un ensemble de parties de E disjointes deux à deux, et dont la réunion est l'ensemble E.

Propriétés de ces opérations

Quels que soient les ensembles X, Y et Z, on a les résultats suivants, qui sont les règles fondamentales de calcul sur les ensembles :

Règles Fondamentales de calcul sur les ensembles (A et B désignent des sous-ensembles de E)
N°	Proposition	Commentaire
1		Résulte de la définition de la complémentation: les éléments de l'ensemble E qui ne sont pas contenus dans E forment évidemment un ensemble vide ; de même E contient tous les éléments qui n'appartiennent pas à l'ensemble vide.
2		Le complémentaire du complémentaire d'un ensemble est cet ensemble. Par exemple en prenant comme référentiel l'ensemble E des nombres entiers naturels, et en appelant A l'ensemble des pairs, est l'ensemble des impairs, et est l'ensemble des pairs.
3		La proposition n° 3 exprime l'idempotence de la réunion et de l'intersection.
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7		Les opérations de réunion et d'intersection sont commutatives: leur résultat ne dépend pas de l'ordre dans lequel on considère les ensembles sur lesquels on opère.
8		A est inclus dans l'ensemble formé par la réunion des ensembles A et B; l'intersection est incluse dans A.
9		Le complémentaire de l'union est l'intersection des complémentaires ; le complémentaire de l'intersection est l'union des complémentaires.
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13		Ces relations expriment l'associativité des opérations de réunion et d'intersection; pour unir A à l'ensemble constitué par l'union de B et C, on peut donc faire d'abord l'opération de réunion de A et B, et réunir C au résultat.
14		Ces relations expriment la distributivité de la réunion par rapport à l'intersection, et celle de l'intersection par rapport à la réunion. Comparer avec la propriété bien connue du produit en algèbre élémentaire, qui est distributif par rapport à la somme.
15		Cette proposition permet de modifier le deux termes d'une inclusion, tout comme, en algèbre élémentaire, on peut ajouter ou soustraire une même quantité aux deux membres d'une égalité.
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