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Théorie des ensembles
Définition

Histoire de la Théorie des Ensembles

Dater l'avènement de la création proprement dite de la théorie des ensembles est chose difficile au vue du fait que de mémoire d'Homme certain aspects de cette théorie sont présents depuis l'antiquité (toujours?). Depuis que l'art de la mathématique existe les concepts d'ensemble existent ceci avant même que cette science soit découpée en domaine (algèbre, analyse, arithmétique etc.) car les chiffres, les nombres, eux mêmes sont des ensembles et ils sont la base de toute algèbre. Le créateur cependant de la théorie des ensembles telle que nous la connaissons, c'est à dire sous sa forme axiomatique est Cantor.

Au début du 19eme siècle Cantor, prend conscience comme certain mathématiciens de l'insuffisance de l'appareil euclidien comme modèle de raisonnement et introduit la « théorie des ensembles ».

Cantor généralisa des concepts qui demeuraient flous dans l'espace Euclidien : la bijection, les infinis et la notion d'univers. Les mathématiques sont alors propulsée dans une nouvelle air, axiomatisée par la notion de structure ensembliste de Cantor.

Ces idées ensemblistes ont eu beaucoup de difficultés à se faire admettre, mais elles ont fini par trouver leur place, grâce en particulier à un jeune français René Baire (1874-1932).

Définitions, opérations fondamentales et relations

Dans ce qu'on appelle parfois la « petite théorie des ensembles » ou la « théorie naïve des ensembles de Cantor », les termes dont nous allons nous servir (ensemble, élément, partie, relation, etc.) ne sont pas définis ; Cantor, se contentait de les employer dans leur sens usuel. Cette absence de définition entraîne des difficultés logiques qui ont exigé historiquement, une révision de la théorie et l'introduction de définitions abstraites (formalistes); toutefois ces difficultés ne se rencontrent pas à propos des ensembles usuels dont nous aurons à parler la plus part du temps. La notion de classe assez informelle dans la théorie de Cantor sera par exemple détaillée dans ce que l'on nomme la Théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel et la Théorie des ensembles de Morse-Kelley.

La Théorie des ensembles moderne

Au tournant du XXe siècle, le courant axiomatique finira par conquérir de nombreuses branches des mathématiques, avec pour corollaire des interrogations méthodologiques donnant lieu à une discipline nouvelle « la logique » mathématique. De ce courant seront issues en particulier une théorie générale de la calculabilité avec les travaux de Church, Kleene, Post, Turing, et plusieurs théories de la démonstration Gentzen, Herbrand, Heyting. Ces théories constitueront entre autre la base de l’informatique.

Copyrigth 2000-2011 Alexandre PÉGUY - Dernière mise à jour, mardi, 04 mars, 2014 14:04