Théorie des ensembles
Propriétés des applications, fonctions
Définition d'une application
En mathématiques, une application est une relation entre deux ensembles reliant un élément du premier à un unique élément du second, ce terme est donc plus précis que celui de fonction qui englobe plus largement ces relations sans contrainte d'unicité. Une application peut être constante, identique, surjective, injective, bijective, réciproque.
Application constante
Une application 
dont l'ensemble des valeurs a au plus un élément a de F est dite constante.
Par exemple, si E =
(ensemble des nombres réels) et si F = 
(ensemble des entiers), l'application 
telle que, à tout x réel on fait correspondre l'entier
3, et qui s'écrit 
ou 
, est une
application constante. On peut dire aussi que la fonction est constante dans E.
Application identique
L'application de E vers F qui fait correspondre
à tout élément x de E cet élément
lui-même 
est application identique; elle se note idE.
Surjectivité
Une application 
telle que, pour tout élément y de F il existe au moins un élément x de E tel que 
est dite surjective. On dit aussi, dans ce cas, que f est une surjection et que E s'applique sur F: chaque élément
de F possède au moins un antécédent dans E.
Exemple. Soit les deux ensembles :
E = entiers naturels non nuls : {1, 2, 3, ..., n, ...}
F = ensemble des carrés parfaits : {1, 4, 9, ..., n2, ...}
L'application f qui fait correspondre à tout x de E son carré x2 est une surjection, car à tout élément de F correspond au moins un élément de E (à savoir sa racine carrée) : c'est donc une surjection de E sur E
En revanche, si l'on avait pris F = ensemble des nombres réels, l'application f considérée ne serait pas une surjection, car, pour des éléments de F tels que 2, 3, 5, 7, 11, etc., il n'existerait aucun élément x de E tel que x2 = 2, x2 = 3, etc.
Injectivité
Une application est dite injective si, pour tout élément y de F, il existe au plus un élément x de E tel que.
Avec une telle application, deux éléments distincts de E ont pour images deux éléments distincts de F.
Soit A une partie de l'ensemble E ; l'application 
qui fait
correspondre, à tout élément x de A, l'élément x de E, est une injection (deux
éléments distincts, a et b, de A, ont pour
images a et b dans E, qui sont aussi distincts) : on
l'appelle injection canonique de A vers E.
Bijectivité
Une application qui est à la fois injective et surjective est appelée une bijection ; on dit qu'elle est bijective. Dans ce cas : à tout élément
de F correspond un antécédent et un seul dans E.
Bijectivition réciproque
Soit une application bijective ; le fait qu'il s'agisse d'une bijection implique, on vient de le voir,
que tout y de F admet un antécédent x et
un seul dans E. Cette propriété définit une application
de F vers E qui est aussi une bijection et qu'on appelle la bijection réciproque de f : on la note par f-1et
l'on écrit :
En appelant x un élément quelconque de E, et y un élément quelconque de F, on a:
On dit aussi que les deux ensembles E et F sont mis en correspondance biunivoque par les applications f et f-1, et que f et f-1sont des fonctions inverses. Les deux ensembles sont alors dits équipotents.
Un exemple imagé peut concrétiser ce qui précède. Soit E et F deux ensembles dont les éléments sont:
E = {Pierre, Paul, Jacques}
F = ensemble de chaises
et soit l'application 
, qui assigne une chaise à chaque élément de E par
l'opération: " Tout le monde assis ! "Trois cas sont
possibles :
-1er cas : F ne contient que deux chaises; il y aura donc un élément de E (par exemple Pierre) assis sur une chaise, et Paul et Jacques s’assiéront sur la même deuxième chaise de l'ensemble F. Autrement dit, les ensembles E et F se correspondent ici par une surjection (chaque chaise de F possède au moins un occupant).
- 2ième cas : F contient quatre chaises
; il y a de la place pour tout le monde et il reste une chaise de vide: chaque
chaise de F possède au plus un occupant (deux éléments
distincts de E occupent des chaises distinctes). L'application est une injection.
- 3ième cas: F contient trois chaises;
chaque élément de E possède une chaise distincte
et chaque chaise possède un occupant distinct. L'application est alors
une bijection.
On démontre un certain nombre de propositions relatives aux applications que nous n'énoncerons pas ici ; le lecteur en trouvera dans tous les traités élémentaires.