Théorie des ensembles
Graphes et produits cartésiens

Le mot " graphe " désigne un type d'ensembles particuliers : ceux dont tous les éléments sont des couples ; il désigne également des figures géométriques appelées aussi " représentations graphiques ". Ce qui suit concerne uniquement les ensembles de couples, et nous emploieront les termes " représentation graphique ", " graphique ", " schéma graphique " pour désigner les figures (polygones, courbes, etc.) utilisées pour représenter certaines correspondances.

Défintions

On appelle graphe (ou graphique) tout ensemble dont les éléments sont des couples, souvent désignés par (x, y) ; le plus souvent, un graphe est noté par le symbole G. On appelle ensemble de définition de G l'ensemble des premiers éléments constituant le graphe. Voici quelques exemples :

L'ensemble G des couples d'entiers dont le second est le double du premier est un graphe:

G = {(1, 2), (2, 4), (3, 6) ... (n, 2n) ...}

L'ensemble des points d'un plan définis par leurs coordonnées (x, y) dans un repère donné est un graphe.

L'ensemble des droites d'un plan perpendiculaires deux à deux (D, D') est un graphe.

Soit E un ensemble de départ, F un ensemble d'arrivée et f une application de E vers F. L'ensemble des couples (x, f(x)) est un graphe qu'on appelle graphe de l'application f.

Soit R(x, y) une relation binaire définie sur un ensemble E. L'ensemble des couples (x, y) d'éléments de E qui vérifient cette relation est le graphe de la relation binaire considérée.

Ajoutons enfin ceci : étant donné un graphe G dont les éléments sont les couples (x, y), le graphe dont les éléments sont les couples (y, x) est appelé graphe réciproque de G, et noté G^-1. Si, de plus, G = G^-1, les deux graphes sont dits symétriques.

Produit cartésien

Soit deux ensembles E et F, distincts ou non. Les couples (x, y) dont le premier élément x est un élément quelconque de E et le deuxième élément y un élément quelconque de F forment un nouvel ensemble qu'on appelle produit cartésien de E par F ou encore ensemble produit. On le note par le signe de la multiplication : (lire : " E croix F "). Les ensembles E et F sont les ensembles facteurs du produit. Deux éléments (deux couples) de l'ensemble sont considérés comme identiques s'ils ont, respectivement, même premier élément et même second élément. Autrement dit:

Exemple : soit un échiquier dont les lignes sont numérotées de 1 à 8 et les colonnes de A à H. Une case particulière de l'échiquier est notée par un couple de valeurs dont la première est une lettre de l'ensemble:

E = {A, B, C, D, E, F, G, H}

et dont la seconde est un nombre de l'ensemble:

F ={1, 2, 3,4,5,6, 7, 8}

ainsi, la case (E, 2) se trouve à l'intersection de la ligne 2 et de la colonne E (c'est sur cette case que se trouve le pion du Roi blanc au début d'une partie). L'ensemble des 64 cases de l'échiquier est le produit . Nous remarquons que l'ensemble est un graphe (c'est un ensemble de couples), et que toute partie de ce produit (toute fraction de l'échiquier) est aussi un graphe.

Première et seconde projection d'un produit cartésien

Appelons z les éléments de l'ensemble produit ; la relation:

" z = (x, y) "

signifie " x est le premier élément du couple z, et y le second ". La relation fonctionnelle f :

est appelée première projection ; on la note pr₁, de sorte que l'on écrit x = pr₁(z), ce qui s'énonce:

" x est la première projection de z "

On définit de même la seconde projection de z, c'est-à-dire y, qu'on note pr₂(z). Dès lors la relation :

"x = pr₁(z) et y = pr₂(z)"

est équivalente à la relation :

" z = (x, y). "

L'ensemble des premières projections du graphe est appelé ensemble de définition du graphe.

Correspondance

Soit E et F deux ensembles, leur produit cartésien et G un graphe qui est une partie de ; le triplet (E, F, G) est appelé correspondance de l'ensemble E vers l'ensemble F : on le note généralement . L'ensemble E est l'ensemble de départ; F est l'ensemble d'arrivée et G est le graphe de . Si (x, y) est un couple de on dit aussi que y correspond à E par le graphe G.

La notion de correspondance est plus générale que celle d'application, à laquelle sont accoutumés lycéens et étudiants. Dans une correspondance, pour tout x de E il existe au moins un élément y de F tel que (x, y) appartienne au graphe de la correspondance : mais il peut y avoir plusieurs éléments qui soient dans cette situation. Au contraire, dans le cas d'une application, on a encore, certes, un triplet (E, F, G), avec un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F; mais le graphe G inclus dans est tel que, pour tout x de E, il existe un seul élément y de F tel que . Un tel graphe est appelé un graphe fonctionnel, pour le distinguer des autres graphes de correspondance.

Il est donc utile, à ce stade, de rappeler la rigueur du vocabulaire mathématique (et c'est un des intérêts, et non des moindres, de l'approche ensembliste des mathématiques). Soit donc le triplet (E, F, G), G étant une partie de ; nous pouvons définir trois types de correspondances, comparés dans le tableau ci-après où nous avons appelé E l'ensemble de départ, X l'ensemble de définition et G une partie de . L'ensemble de définition est inclus dans E, mais il peut être aussi égal à E ; il contient tous les éléments x de E tels qu'il existe au moins un qui soit une image de x dans la correspondance considérée, c'est-à-dire tel que :

Les différences entre les notions de correspondance en général, d'application et de fonction portent, à la fois, sur les rapports entre E et X et sur la définition du graphe G.

Un exemple important : considérons l'ensemble des réels, dont nous supposons ici les propriétés connues: nous allons le choisir comme ensemble de départ d'une application vers un ensemble que nous nommerons F:

Appelons x un élément quelconque de : nous le nommerons, indifféremment, argument ou variable de la fonction f ; un élément y de l'ensemble d'arrivée F sera nommé valeur de la fonction f en x et l'on écrira, indifféremment :

La fonction f considérée est une fonction d'une variable réelle.

Il peut se trouver que l'application f ne concerne qu'une partie X de l'ensemble de départ : l'ensemble est l'ensemble de définition ou, comme on le dit plus couramment, le domaine de définition de la fonction. Les valeurs y de la fonction peuvent être elles aussi, prises dans une partie de l'ensemble F d'arrivée ; l'ensemble est le domaine des valeurs de la fonction. Dès lors, pour tout x appartenant à X il existe un élément y de Y et un seul tel que :

G désignant le graphe des couples (x, y) Comme on l'a dit plus haut, G est une partie du produit cartésien
Parmi les fonctions d'une variable réelle ainsi définies, i1 en est deux classes qui correspondent aux préoccupations des physiciens et à une combinatoire à laquelle l'esprit humain s'est accoutumé, depuis 2 500 ans qu'il " fait " des mathématiques ; elles correspondent à la nature de l'ensemble F.

- Première classe. Convenons de choisir F = ; la fonction f de vers s'écrit :

.

A chaque réel x de l'ensemble de définition correspond alors un réel y de l'ensemble ; ce nombre y est calculable à partir de x selon les règles que résume f. Par exemple on peut poser f: " Opération qui consiste à prendre l'inverse de x ", et les valeurs de la fonction se calculent à partir de

Les fonctions du type sont dites numériques.

- Deuxième classe. Convenons maintenant de choisir comme ensemble d'arrivée un espace vectoriel sur Cela signifie qu'à chaque réel x de l'ensemble de définition X, on fait correspondre un vecteur à 1, 2, 3, ..., n composantes, selon la dimension de l'espace vectoriel choisi. La fonction est alors une fonction vectorielle d'une variable réelle (si n = 1, c'est une fonction numérique).

Ne pas confondre graphe et graphique. Soit une fonction numérique d'une variable réelle:

.(si elle est partout définie sur ), ou :

.(si son domaine de définition est ).

Le graphe de cette fonction est l'ensemble des couples (x, y), x étant la variable et y la valeur de la fonction f correspondant à x ; on peut construire une représentation graphique de ce graphe en définissant un repère orthonormé, puis en portant sur l'axe Ox les différentes valeurs de la variable et sur l'axe Oy les valeurs correspondantes de la fonction ; les points représentés par les couples (x, y) forment ce qu'on appelle courbe représentative de la fonction considérée ; mais ne vous laissez pas abuser par les mots : ce " graphique " n'est pas le " graphe " (qui est un ensemble), c'est l'image de ce graphe.