Théorie des ensembles
Définition fonction
Fonction ou Application ?
En mathématiques, dans le sens de la théorie des ensembles, une application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier (ensemble de départ ou ensemble source) est relié à un unique élément du second (ensemble d'arrivée ou ensemble de destination ou but, objectif...). Le terme fonction, est plus généraliste mais est restrictif en théorie des ensembles car il est spécifiquement relié à un seul élément de l'ensemble d'arrivée.
Définition
Soit E et F deux ensembles, distincts ou non.
Si, pour tout élément x de E, il existe un élément y de F et un seul qui soit dans une relation déterminée 
avec x,
cette relation est dite relation fonctionnelle. On donne le nom de
fonction à l'opération qui associe à tout x de E un élément y de F. On dit que y est la valeur de la fonction pour l'élément x considéré;
deux relations fonctionnelles équivalentes déterminent la même
fonction.
On dit encore qu'une telle fonction (c'est-à-dire
l'opération qui fait correspondre 
à 
) est une application de E dans F (ou: de E vers F). On écrit indifféremment :
- " soit f une application de E dans F ",
- " soit" une application
- " soit
- " soit"
E est l'ensemble de départ et F l'ensemble
d'arrivée.
Si est
une application de E vers F,
est l'unique élément de F correspondant à l'élément x de E : c'est
" l'image de x par " et l'on peut aussi écrire :
(lire " x donne de x " ; l'ancienne lecture était: " x béquillon de x "). L'élément x de E est l'antécédent de
.
Étant donné deux ensembles E et F, il
existe en général plusieurs applications possibles de E dans F (quand E et F sont des ensembles
de nombres, il peut y en avoir une infinité). L'ensemble des applications de E vers F est noté
.
Si E = F, on note simplement 
.