Théorie des ensembles
Applications, fonctions

En physique, on dit couramment qu'une grandeur y est " fonction " d'une autre grandeur x lorsque la connaissance de x permet de calculer y et que la loi qui relie y à x s'écrit sous la forme . Dans cette manière de parler, il est sous-entendu que x et y sont des nombres de même nature, par exemple des nombres réels ; la lettre "" symbolise les opérations qu'il faut effectuer sur x pour obtenir y. Ainsi, la loi de la chute des corps dit que l'espace y parcouru par une masse ponctuelle tombant en chute libre est " fonction " du carré t²du temps mis pour le parcourir et s'écrit y = kt², k étant une constante (en fait, k = g/2, en appelant g l'accélération de la pesanteur). On aurait pu écrire aussi, "" signifiant que, pour obtenir y, il faut élever le temps t au carré et le multiplier par g/2.

Dans la deuxième partie du 17^ième siècle, les mathématiciens se sont intéressés à ces correspondances fonctionnelles, ont construit un outil puissant pour les étudier (l'analyse) et ont bâti la théorie des fonctions d'une variable réelle. Puis les mathématiques sont devenues l'objet de spéculations frénétiques, et des êtres mathématiques nouveaux ont été créés : les nombres complexes, les matrices, les vecteurs, les variétés algébriques, etc. Il est alors apparu que les notions de " fonction " et de " représentation graphique ", telles qu'on les utilisait à propos des nombres réels, étaient des cas particuliers de notions beaucoup plus générales, et c'est ainsi que les mathématiciens ont été conduits à envisager la notion plus abstraite d'application, dont les fonctions, au sens traditionnel, ne sont qu'un cas particulier. Les propriétés fondamentales des applications relèvent de la théorie abstraite des ensembles, le traitement technique des différentes classes d'applications relève de l'analyse.