Analyse
Vecteurs

Définition

On appelle vecteur, au sens le plus général, tout élément d'un espace vectoriel sur un corps K (voir l'article Espace vectoriel). En mathématique élémentaire, on étudie particulièrement les vecteurs sur le corps des réels ou sur le corps des complexes. Nous nous limiterons, ici, aux espaces vectoriels sur le corps des réels.

Un vecteur sur le corps se note à l'aide d'une lettre italique grasse (convention AFNOR), par exemple x. C'est un objet mathématiques qui s'écrit :

dans une base donnée; sont des nombres réels qu'on appelle les coordonnées ou les composantes du vecteur. Lorsqu'il n'y a qu'une composante le vecteur est dit unidimensionnel et il se réduit au nombre réel x₁.

l'espace vectoriel à une dimension est alors isomorphe à l'ensemble des réels et l'image d'un vecteur x est un point de la droite réelle. S'il s'agit d'un vecteur à deux dimensions

l'ensemble de ces vecteurs est isomorphe à l'espace vectoriel ². L'image géométrique des vecteurs x est un point M de coordonnées dans une repère d'origine O (voir figure ci-dessous). Un vecteur possédant trois composantes est dit tridimensionnel; il s'écrit ; l'ensemble des vecteurs à 3 dimensions est isomorphe à l'espace vectoriel ³ et l'image d'un de ces vecteurs est un point de coordonnées dans un repère Oxyz.

Enfin, l'espace vectoriel n-dimensionnel noté ⁿ est l'ensemble des vecteurs à n dimensions :

les composantes x_i étant donc des nombres réels. À la différence des vecteurs de ² et de ³ les vecteurs à n dimensions n'ont pas d'images géométriques.

Calcul vectoriel

Le calcul vectoriel consiste à faire, sur les vecteurs de l'espace ⁿ, les opérations décrites par l'axiomatique de cette structure, ce qui revient à opérer sur leurs composantes :

- l'addition vectorielle (loi de composition interne) se ramène à faire la somme des composantes des vecteurs considérées ;

- la multiplication par un scalaire revient à multiplier chaque composante du vecteur par le scalaire .

- l'axiomatique de la structure d'espace vectoriel ⁿ impose aussi de définir le vecteur nul 0 :

- le produit scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel de dimension n, et , est un nombre réel p défini par :

(dans cette relation, les composantes x_i et y_i ne figurent qu'au premier degré : c'est une forme bilinéaire). Si le produit scalaire est nul, les vecteurs x et y sont dits orthogonaux.

- Dans le cas particulier des vecteurs à trois dimensions de l'espace ³, on définit une autre opération appelée produit vectoriel de deux vecteurs. Soit deux vecteurs tridimensionnels :

et

On appelle produit vectoriel de ces deux vecteurs un troisième vecteur à trois dimensions, v, dont les composantes sont définies par des combinaisons linéaires des composantes des deux vecteurs de départ :

Analyse vectorielle

La notion d'espace vectoriel est restée du domaine de l'algèbre (sous la forme du calcul vectoriel) jusqu'en 1870 environ. C'est alors que l'École italienne, à la suite de Weierstrass, étudie l'espace des fonctions continues et que les progrès de l'analyse imposent de doter la structure d'espace vectoriel de propriétés complémentaires, qui vont permettre la naissance et le développement de l'analyse vectorielle. Ces propriétés complémentaires sont :

1. la notion de Distance dans un espace vectoriel, qui caractérise les espaces métriques, et qui permet de définir une norme dans un espace vectoriel (voir Espace vectoriel normé et espace de Banach ; Stefan Banach, 1892-1945, a élaboré la théorie de ces espaces en 1920-1922) ;
   
   
2. la notion de produit scalaire qui fait d'un espace vectoriel normé un espace hilbertien (Hilbert, 1906), structure axiomatisée vers 1930 par Stone et von Neumann.

Comme le suggère cette évolution de la notion d'espace vectoriel, les mathématiciens ont circulé, depuis le début de ce siècle, entre l'affinement de l'analyse vectorielle considérée comme une technique, et le perfectionnement axiomatique de ce corps de doctrine. Ils y ont été encouragés, notamment, par les exigences des physiciens qui, depuis les théories de Maxwell sur l'électromagnétisme, ont employé de plus en plus les vecteurs (à trois dimensions) pour décrire les lois de la nature ; cette transformation des mathématiques appliquées culmine avec l'introduction des quadrivecteurs (vecteurs à 4 dimensions) par Minkowski et Einstein, en 1915, puis avec celle du calcul matriciel et de l'analyse matricielle par Heisenberg, à l'époque où, précisément, Stefan Banach participait à la création de l'analyse vectorielle linéaire.

La notion de base de l'analyse vectorielle est celle de fonction vectorielle qui correspond, entre autres, à la notion physique de champ de vecteurs. Nous avons défini, un certain nombre de grandeurs appelées: circulation du vecteur champ, flux vectoriel à travers une surface A, vecteur gradient grad U d'une fonction scalaire U, divergence d'une fonction vectorielle F (div F), rotationnel d'une fonction vectorielle F (rot F). Toutes ces fonctions se déterminent en calculant les dérivées partielles des composantes du vecteur champ (c'est-à-dire de la fonction vectorielle) considéré et en les combinant linéairement. Nous allons rappeler la construction de ces fonctions dans l'espace vectoriel ³ (vecteurs à trois dimensions).

- Pour étudier les propriétés des courbes de l'espace et celles des surfaces (ainsi que les propriétés vectorielles de certains concepts physiques tels que les champs), on utilise la notion de dérivée vectorielle.

Soit un vecteur dont les composantes sont des fonctions d'une variable réelle t :

, , .

on appelle dérivée vectorielle du vecteur x le vecteur tel que :

Soit une fonction vectorielle qui prend des valeurs en chaque point M(x, y, z) de l'espace; on définit, en analyse, deux grandeurs qui caractérisent le comportement de V (et auxquelles on donne, si nécessaire, une signification physique).

La première est un nombre réel appelé divergence de V (div V), donné par :

la seconde est le rotationnel de V (rot V), c'est un vecteur défini par :

Le rotationnel et la divergence d'une fonction vectorielle font l'objet de deux théorèmes importants démontrés par Ostrogradski (1834) et Stokes (1849).