Analyse
Théorie de la mesure

Le concept de mesure est né d'une part des efforts de Riemann (entre 1854 et 1866) pour formuler la condition d’intégrabilité d'une fonction bornée dans un intervalle a,b et, d'autre part, des travaux de Cantor et de Harnack (en 1884-1885) sur les ensembles de points Il a été développé par Peano (l887), par Camille Jordan (l 892), par Émile Borel (Leçons sur la théorie des fonctions 1818); les résultats obtenus par ces mathématiciens ont été repris, précisés et généralisés par Henri Lebesgue en 1902-1904 (Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives). Il en est résulté une nouvelle définition de l'intégrale d'une fonction, l'intégrale au sens de Lebesgue, et une série de théorèmes fondamentaux sur la "mesure", exploités entre 1904 et 1910. En 1905, M. Fréchet, puis en 1930, O. Nikodym ont généralisé la notion en introduisant celle de mesure abstraite, largement employée, depuis, dans le calcul des probabilités.

Retour sur l'intégrale de Riemann

L'intégrale de Riemann est, la limite I vers laquelle tend la somme de Riemann dans un intervalle a, b. Cette limite existe si la condition d'intégrabilité de Riemann est vérifiée ; cette condition s'exprime ainsi :

" Pour qu'une fonction bornée soit intégrable sur un intervalle a, b, il faut et il suffit qu'on puisse diviser a,b en intervalles partiels tels que la somme des longueurs de ceux de ces intervalles dans lesquels l'oscillation est plus grande que , quel que soit , soit aussi petite que l'on veut. "

La longueur d'un intervalle partiel dans a, b est , et l'oscillation correspondante de la fonction est , valeur maximale de , x et y étant deux valeurs de la variable comprises dans l'intervalle de longueurs .

Or, dès 1870, on découvre des fonctions f intégrables au sens de Riemann dans un intervalle a, b, mais dont la primitive F(t) de la forme , n'a pas de dérivée en certaines valeurs de t dans l'intervalle a, b. Inversement, on construit des fonctions F, qui ont une dérivée F' = f(x) qui n'est pas intégrable au sens de Riemann (c'est-à-dire que f a pour primitive F mais n'a pas d'intégrale définie !). On en découvre d'autres présentant des bizarreries encore plus grandes et la généralisation du calcul des intégrales aux intégrales doubles n'est pas toujours possible. En bref, la définition de Riemann ne s'applique pas à tous les types de fonctions : elle manque de généralité. D'où les efforts de Lebesgue pour éliminer ces impossibilités en établissant une définition de l'intégrale plus générale que celle de Riemann.

Mesure d'un ensemble de points (théorie de Borel)

Considérons l'ensemble de nombres réels A = 0, 1. Si un sous-ensemble E de A est la réunion dénombrable d'intervalles disjoints de " longueur totale " s, on dira que l'ensemble E a pour mesure s.

Précisons cette définition. Le terme " dénombrable " signifie " de même puissance que ^*" (l'ensemble des entiers naturels sans le zéro) ; il doit donc y avoir, dans E, autant d'intervalles que de nombres entiers, ce qui signifie que les limites des intervalles ne doivent pas être irrationnelles. Par ailleurs, la définition ne fait aucune hypothèse sur la longueur d'un intervalle particulier ; par exemple l'ensemble E = 0, 0,25 peut contenir des intervalles tels 0, 0,01 ou comme 0,2 , 0,204 : le premier a pour longueur 0,01 et le second 0,004.

À partir de cette définition, on peut en introduire d'autres :

- Si E et E' sont deux sous-ensembles de mesure s et s', et s'ils sont disjoints (), alors la mesure de l'ensemble est s + s'.

- Soit une famille d'ensembles deux à deux disjoints, E_i, dont chacun a pour mesure s_i ; l'union des ensembles E_i a pour mesure .

- Si E a pour mesure s et E' a pour mesure s', alors E - E' a pour mesure s - s'.

- La mesure de l'ensemble 0, 1 est égale à 1.

Toute famille d'ensembles auxquels s'appliquent les définitions précédentes sont dits des ensembles mesurables ; on désigne leur mesure par . La théorie des nombres réels permettant de dire que tout ensemble ouvert E de est la réunion d'une famille dénombrable d'intervalles deux à deux disjoints, cet ensemble est donc mesurable par ce qu'on appelle la mesure de Borel. On peut souligner que, pour mesurer un ensemble ouvert borné E, les mathématiciens avant Borel, enfermaient cet ensemble dans une réunion finie d'intervalles; Borel, au contraire, approche la mesure de E par la somme des longueurs de ses intervalles disjoints.

L'intégrale de Lebesgue

Considérons maintenant l'ensemble de nombres réels a, b de longueur l = b - a ; appelons E un sous-ensemble de a, b et E' son complémentaire sur a, b ; Soit m_e la longueur totale minimale des intervalles disjoints de E et m', celle des intervalles disjoints de E' (définies comme dans la théorie de Borel). Lebesgue appelle m_e la mesure extérieure de E et m_i = 1- m_e sa mesure intérieure. Alors l'ensemble E sera dit mesurable et de mesure m si, et seulement si, m_e = m_i = m ; il en sera de même alors pour E'.

Cette définition d'un ensemble mesurable permet d'introduire la notion de fonction mesurable. Soit f(x) une fonction de x et deux nombres quelconques A et B ; la fonction f(x) est dite mesurable (au sens de Lebesgue) si, quels que soient A et B, les ensembles de nombres x vérifiant les relations suivantes sont eux-mêmes mesurables :

(on retiendra que presque toutes les fonctions rencontrées en analyse sont mesurables).

Nous pouvons maintenant définir l'intégrale de Lebesgue d'une fonction f(x) mesurable, définie sur l'intervalle a, b ; pour faciliter la compréhension de cette définition, nous la décomposons ainsi :

1 - Soit une suite indéfinie de nombres croissants, avec ^*vérifiant les relations :

et

2 - Soit m_j la mesure de l'ensemble des valeurs de x qui vérifient

3 - Si la série est absolument convergente (voir l'article sur les séries), elle tend vers une limite I_L quand tend vers zéro et cette limite est l'intégrale de Lebesgue :

Intérêt de l'intégrale de Lebesgue

La définition de Lebesgue est plus générale que celle de Riemann, et l'on ne rencontre pas, avec elle, les anomalies signalées plus haut. En particulier, une suite de fonctions mesurables bornées, tendant vers une limite, peut être intégrée terme à terme, ce qui est impossible avec l'intégrale de Riemann. Par ailleurs, Lebesgue a établi la propriété fondamentale suivante : si f(x) est intégrable (au sens de Lebesgue) sur l'intervalle a,b, l'intégrale est une fonction admettant en tout point f(t) pour dérivée sauf pour un intervalle de mesure nulle.

Les travaux de Lebesgue furent complétés par ceux d'Arnaud Denjoy (1912), à qui nous avons emprunté la méthode de définition de I₂, de H. Cartan, de F. Riez et de quelques autres.