Analyse
Calcul des résidus
Calcul, mis au point par Cauchy à partir de 1814, qui permet la détermination des intégrales curvilignes le long des contours fermés.
Théorème des résidus
Le théorème des résidus est un outil puissant de l'analyse complexe, généralisant le théorème intégrale de Cauchy (la formule intégrale de Cauchy). Il peut être utilisé pour calculer des intégrales de fonctions curvilignes, holomorphes (sur courbes fermées), et réelles tout comme les sommes de certaines séries.
Soit U un sous-ensemble ouvert et simplement connexe du plan complexe ,z1,...,zn un ensemble de points distincts et isolés de U et f est une fonction qui est définie et holomorphe sur U - {z1,...,zn}. Si γ est une courbe rectifiable dans U qui ne rencontre aucun des points singuliers zk et dont le point de départ correspond au point d'arrivée (c'est-à-dire un lacet rectifiable), alors
Ici, Res(f,zk) désigne le résidu de f en zk, et Indγ(zk) l'indice du lacet γ par rapport à zk. L'indice de sommationΣ porte sur tous les points singuliers zk, y compris le point à l'infini. Intuitivement, c'est le nombre de tours autour de zk effectués par un point parcourant tout le lacet. Ce nombre de tours est un entier ; il est positif si γ est parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct) autour de zk, nul si γ ne se déplace pas du tout autour de zk, et négatif si γ est parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre autour de zk.
Dans le calcul d'intégrales réelles
Pour évaluer des intégrales réelles, le théorème des résidus s'utilise souvent de la façon suivante : l'intégrande est prolongé en une fonction holomorphe sur un ouvert du plan complexe ; ses résidus sont calculés, et une partie de l'axe réel est étendue à une courbe fermée en lui attachant un demi-cercle dans le demi-plan supérieur ou inférieur. L'intégrale suivant cette courbe peut alors être calculée en utilisant le théorème des résidus. Souvent, la partie de l'intégrale sur le demi-cercle tend vers zéro (lemme de Jordan), quand le rayon de ce dernier tend vers l'infini, laissant seulement la partie de l'intégrale sur l'axe réel, celle qui initialement nous intéressait.