Analyse
Nombres réels
Le "nombre" par excellence, sur lequel on calcule, c'est le nombre
entier positif, appelé entier naturel. Si on ajoute le zéro
à la suite des entiers naturels, on obtient l'ensemble 
des entiers, dont la définition axiomatique a été établie
notamment par Giuseppe Peano, en 1889.
Au cours des âges, pour les besoins de la géométrie d'abord
(au temps des Pythagoriciens), puis pour ceux de l'algèbre élémentaire
(considérée comme la théorie des équations), les
mathématiciens ont introduit les nombres fractionnaires rationnels
(l'ensemble 
), les
nombres irrationnels, les nombres négatifs et les
nombres complexes (ces deux dernières classes de nombres ont été introduites par les algébristes italiens de la Renaissance). Enfin, au 19ième siècle, Hamilton, Cayley et Sylvester ont construit les ensembles de "nombres" appelés "vecteurs" ou "matrices", qui méritent l'appellation de "nombres" car on calcule sur ces objets de la même façon que sur les nombres "ordinaires", mais les processus des opérations fondamentales y sont différents.
L'ensemble formé par la réunion des entiers naturels, des entiers
relatifs (positifs : 
+
; négatifs : -;
zéro), des fractionnaires rationnels et des nombres irrationnels (algébriques
ou transcendants) constitue l'ensemble des nombres réels. Au
milieu du 17ième siècle, Isaac Barrow (1630-1677),
qui fut le maître de Newton, avait donné des nombres réels
la définition descriptive suivante :
" Ce sont des symboles traduisant des rapports de grandeurs, commensurables ou incommensurables, susceptibles de se combiner entre eux selon les lois de l'arithmétique. "
L'adjectif "commensurable" se rapporte aux nombres rationnels,
entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs, et, bien entendu,
au zéro; l'adjectif "incommensurable" s'adresse aux nombres
irrationnels, comme 
,
, etc. De plus,
vers 1650, on ignorait l'existence des nombres transcendants (qui sont, eux
aussi, des réels, mais qui ne peuvent être solutions d'aucune
équation algébrique comme e ou 
).
Cet état d'esprit se maintient jusqu'au début du 19ième
siècle, c'est-à-dire jusqu'aux travaux de Gauss dont les Recherches
arithmétiques (1801) et un mémoire Sur les séries
hypergéométriques (1812) ont montré que la définition
"opérationnelle" de Barrow était insuffisante. En
effet, si elle convenait aux rationnels, elle ne pouvait suffire aux irrationnels
: un nombre comme ,
par exemple, peut se calculer, avec autant de précision qu'on le désire,
à l'aide d'une série, c'est-à-dire d'une somme
dont les termes peuvent être aussi nombreux qu'on le veut et qui converge
à la limite vers la valeur de .
Mais les notions de convergence et de limite étaient encore intuitives
et, dans la mesure où elles intervenaient (avec celles de continuité
et de suite), dans la définition des réels, il convenait
de définir ces notions avec rigueur.
Cette exigence, énoncée par Gauss en 1812, a été prise en compte par Bolzano, dans un mémoire célèbre sur la continuité des fonctions, en 1817, puis par Cauchy, en 1821, dans son Cours d'Analyse de l'École Polytechnique. Les idées de Cauchy furent précisées par Abel (1826) puis, un demi-siècle plus tard, par Weierstrass, Dedekind, Méray et Cantor. On aboutit ainsi à diverses définitions possibles (et équivalentes) des réels, faisant intervenir la notion de continuité et fondées soit sur la théorie des séries de Cauchy, soit sur la notion de coupure dans un ensemble due à Dedekind (1872).
Ces définitions, jointes à l'axiomatique de l'ensemble
par Dedekind (1888) et Peano (1889), conduisent à une description abstraite
cohérente et rigoureuse de l'ensemble 
des réels, muni de la structure de corps commutatif.