Analyse
Nombre e
Le nombre e, qui joue un rôle important en analyse, peut se définir comme la valeur de x pour laquelle la fonction " ln x " a pour valeur l’unité :
Il constitue la base des logarithmes népériens.
une Approche géométrique
Omontre que ce nombre est compris entre 2 et 3 : puisque ln x mesure
l’aire limitée par la courbe représentant 
l’axe
des x, l’ordonnée 
d’abscisse 
et une
ordonnée variable 
d’abscisse 
, alors
mesure l’aire mixtiligne
de la figure ci-après.
Puisque 
, 
et
l’aire du carré 
est égale à 1. D’autre part, le point E d’abscisse e
doit être tel que :
Or on a évidemment :
Il faut donc déterminer e tel que l’aire en grisée (beED)soit égale à l’aire en grisée (ABD)du triangle mixtiligne ABD. On constatera, grossièrement, que e doit être supérieur à 2,5 et inférieur à 3.
Pour calculer e avec plus de rigueur, on peut utiliser le développement en série de la fonction exponentielle ex en appliquant la formule de MacLaurin et en remarquant que les dérivées successives de ex sont égale à ex (c’est cette méthode que l’on utilise généralement). On obtient le développement suivant :
En prenant le cas particulier où x=1 on obtient :
Qui est une série convergente. Le calcul, que l’on peut pousser aussi loin que l’on veut, donnerait :
En écrivant ce nombre en base deux on s’aperçoit de certaines
propriétés qui permettent d’en calculer plusieurs centaines
de digits.
Le nombre e est sans doute, avec pi, le nombre le plus utilisé
des mathématiques ; il a été baptisé " e "
par Euler(c’est l’initial de son nom) et sa " vogue " a pour origine
la relation établie par Euler entre l’exponentielle complexe eix
et les fonctions circulaire :
Un peut d'histoire
Euler avait calculé e par la série de MacLaurin, comme nous venons de le faire, et il en avait conclu qu’il s’agissait d’un nombre irrationnel, c’est à dire qui ne pouvait pas être la racine d’une équation du premier degré à coefficients entiers de la forme :
En 1873, Hermite montra qu’il était non seulement irrationnel, mais encore transcendant : le nombre e ne peut être solution d’aucune équation algébrique, de quelque degré qu’elle soit, à coefficients entiers ou rationnels.