Analyse
Limites
Historique
Considérons la fonction numérique : 
et donnons à x des valeurs positives supérieures
à 1, par exemple :
(n entier positif).
nous constatons que les valeurs de la fonction diminuent au fur et à mesure que n augmente et nous avons tendance à affirmer, intuitivement, que, pour x > 1, la fonction f(x) = x - 1 tend vers 0 quand n tend vers l'infini, ou , ce qui revient au même, quand x tend vers 1. Cette intuition (dont on peut ici démontrer la vérité) ne peut plus s'exercer lorsqu'ils s'agit de fonctions plus compliquées ou lorsque x et f(x) ne sont pas des nombres réels. D'où la nécessité qu'on ressentie les mathématiciens de donner une définition de la notion de limite qui soit générale, quitte à retrouver des méthodes particulières lorsqu'il s'agit de fonctions numériques.
Or, aussi étrange que cela paraisse, jusqu'au début du 19ième, siècle, les mathématiciens se sont contentés de définitions approchées, particulières, voire intuitives de la notion de limite dont la première définition correcte, en ce qui concerne les fonctions numériques, n'a été proposée qu'en. 1821, par Cauchy, dans son Cours d'analyse de l'École polytechnique. Ce mathématicien a énoncé et démontré les théorèmes fondamentaux sur l'existence de limites de fonctions diverses, en particulier des fonctions et des suites monotones (dont le sens de variation est constant dans l'intervalle où on l'étudie) et introduit les concepts de limite supérieure et de limite inférieure. Un siècle plus tard, les Britanniques Moore et Smith généralisent davantage encore la notion de limite, et H. Cartan étudiera certaines formes générales de convergence, auxquelles sont liées les notions de convergence selon une direction et de convergence suivant un filtre (1937).
Notion de direction
Considérons l'ensemble 
des nombres entiers naturels et les sous-ensembles An de
cet ensemble de la forme :
deux ensembles quelconques, par exemple A5 et A8,
ont toujours un rapport d'inclusion (l'un des deux contient toujours l'autre)
; ici, A5, contient A8 ; quand n tend
vers l'infini, et seulement dans ce cas, l'intersection de tous les ensembles
An, est vide, car il n'existe alors aucun ensemble qui contienne
des éléments communs à tous les An,
Le système S des ensembles An, est alors appelé
une direction que l'on désigne par 
.
Plus généralement, soit E un ensemble sur lequel est
définie une fonction donnée f(x) et soit S
= (A, B, C, ... ) un système de sous-ensembles
de E. Si d'une part, pour tout couple (A, B) de ce système,
on a soit 
, soit
, et si, d'autre
part, l'intersection des ensembles (A, B, C, ...) du
système est vide, le système S est appelé une
direction.
Limite d'une fonction
Soit f une fonction de E dans F; en appelant x
les éléments de E, la valeur de cette fonction s'écrit
f(x) c'est un élément de F; supposons
en outre que F soit doté d'une métrique D définissant
la distance entre deux de ses éléments (voir la notion
d'espace métrique). S'il existe un élément
L de F tel que, pour tout 
,
on puisse trouver un sous-ensemble A de la direction S dont chaque
élément f(x) est tel que:
l'élément L est appelé limite de la fonction y = f(x) selon la direction S et l'on écrit, indifféremment:
ou 
Application aux suites numériques
Une suite de nombres (xn) est une application de
dans 
, qui fait correspondre
aux entiers 1,2, ... les réels x1, x2,
... , déterminés par une règle caractéristique
de la suite ; est l'ensemble
de définition de la fonction (xn) ; on y définit
aisément une direction 
et la suite aura une limite L si, et seulement si, un 
quelconque étant donné, pour tout nombre entier n suffisamment
grand on a :
on dit alors que la suite est convergente et qu'elle converge vers L :
