Analyse
Introduction

L'analyse est un monument beaucoup trop complexe pour être résumé en quelques pages. Les objets qu'elle étudie ou dont elle se sert (nombres réels, nombres complexes, matrices, suites, séries, fonctions, etc.) constituent des ensembles que l'on peut munir des différentes structures abordées précédemment. Nous allons nous limiter, ici, à présenter les notions fondamentales de l'analyse en précisant d'emblée que les ensembles E dont nous aurons à traiter ont une structure d'espace vectoriel sur un corps K. Cela signifie qu'un élément de E est représentable par un ensemble de 1, 2, 3,...,n éléments d'un corps K ; nous nommerons vecteurs ou points les éléments de l'ensemble E, et scalaires les éléments appartenant au corps K. Les éléments de l'ensemble E seront désignés par des lettres comme et les scalaires par les lettres grecques un élément x de E s'écrira :

s'il appartient à un espace vectoriel à 1 dimension, et

s'il appartient à un espace vectoriel à 2, 3,..., n dimensions. En principe, les éléments scalaires peuvent être des " n'importe quoi "(singularités) du moment qu'ils respectent la structure de corps ; ici, nous supposerons toujours que ces scalaires sont soit des nombres réels, soit des nombres complexes.

Si nous définissons axiomatiquement des propriétés ou des opérations supplémentaires dans un espace vectoriel E, il possédera une structure nouvelle à laquelle nous donnerons un autre nom ; nous aurons ainsi à considérer des espaces métriques. des espaces vectoriels normes et des espaces de Banach (on rappelle que le mot "espace" est pris au sens d'" ensemble " ; l'espace des géomètres est un espace particulier). Ces structures étant fondamentales, nous allons les définir avant les autres notions.