Analyse
Intégrale
La notion d'intégrale est tout aussi fondamentale que celle de dérivée en analyse. Nous étudierons ici le cas des fonctions de variables réelles.
Approche historique
Pour calculer une aire ou un volume, les mathématiciens grecs de l'Antiquité (Eudoxe, Archimède) découpaient cette aire ou ce volume en segments aussi petits que possibles dont ils faisaient la somme. C'est une méthode de ce genre que reprend Newton, en 1671, pour calculer l'aire de la parabole (aire comprise entre l'arc OA, l'axe des x et l'ordonnée aA) ; il remarque que cette aire S est une fonction de x qui croît avec x et écrit :
" L'aire de la courbe est une quantité qui
s'engendre sans cesse... "
Isaac Newton.
Il montre ensuite que l’aire S(x) cherchée est la fonction qui admet y = x2 pour fluxion, c'est-à-dire pour dérivée. D'où le théorème:
" L'aire de la courbe y = x2 est la fluente de y qui s'annule pour x = 0 "
(la " fluente " de Newton est ce que nous appelons une primitive de la fonction y).
Le simple examen du tableau ci-après montre que 
,
comme on doit avoir S = 0 pour x = 0, l'aire cherchée
a donc pour valeur ici (x = a) 
.
Pour arriver à ce résultat, Newton considère l'aire S comme la " somme " d'une infinité de petits éléments de surface assimilable à des rectangles de longueur y = x2 et de largeur " infiniment petite " dx, dans l'intervalle 0, a, ce qui s'écrit :
(" intégrale de 0 à a de x2
dx " ; les symboles 
sont dûs à Leibniz).
En fait, ce que Newton a ainsi calculé, ce n'est pas, rigoureusement une intégrale, mais une somme intégrale et c'est Cauchy, qui, en 1821, donnera la définition rigoureuse de l'intégrale comme limite d'une somme intégrale. Les mathématiciens pourront alors oublier le découpage des aires limitées par des courbes, et se poser le problème de l'existence de l'intégrale d'une fonction continue; Riemann donnera ensuite une définition plus complète et plus rigoureuse de l'intégrale : c'est ce qu'on nomme l'intégrale au sens de Riemann et, en 1902, le Français Lebesgue formulera une notion d'intégrale plus générale que celle de Riemann, l'intégrale au sens de Lebesgue (voir Mesure).
Primitives
Soit y = f(x) une fonction continue
sur un intervalle a, b ; toute fonction F(x) qui
admet f(x) comme dérivée dans cet intervalle est
une fonction primitive ou primitive de y. Ainsi la fonction
y = x2 admet pour primitives les fonctions 
(C : constante), car, si l'on prend la dérivée de F(x)
on obtient:
Une fonction admet en général une infinité de primitives, qui différent par la constante C ; leur calcul est généralement difficile, alors que celui des dérivées est quasi automatique. Il est bon de connaître par cœur quelques primitives fondamentales (voir tableau ci-après).
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quelques primitives fondamentales (C : constante ; u et v : fonctions admettant u' et v' pour dérivées)
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Somme intégrale
Soit une fonction y = f(x) définie, et ne prenant
que des valeurs finies sur un intervalle a,b, c'est-à-dire
pour 
Posons
,
et considérons
l'ensemble de points (valeurs de x) :
On dit qu'on a défini une partition de l'intervalle a,
b en intervalles 
.
Nous pouvons écrire la distance entre deux points consécutifs
sous la forme :
marquons ensuite les points 
,
compris dans ces intervalles : on dit qu'on a réalisé sur l'intervalle
une partition à point marqués.
On appelle somme intégrale relative à la fonction
finie y = f(x) le nombre :
ou encore, en utilisant le symbole 
(" somme de ")
( lire: " somme des produits 
de i = 0 à i = n - 1 ")
Intégrale de Riemann
Considérons à nouveau la fonction f(x), donnée
sur un intervalle fermé a,b, et définissons, comme
précédemment une partition à points marqués ;
si la somme intégrale S tend vers une limite finie I,
quel que soit le choix des points 
lorsque le nombre des intervalles 
tend vers l’infini, et lorsque la longueur du plus grand de ces intervalles
tend vers zéro, cette limite est l'intégrale de Riemann de
la fonction f(x), et l'on écrit :
(lire: " intégrale de a à b de f(x) dx ").
I est un nombre réel, fonction de a et b (on
précise, éventuellement, 
): a et b sont les limites d'intégration, le nombre I
s'appelle l'intégrale définie de f(x) sur
a,b. Il ne faut pas confondre la somme intégrale 
,
qui est la somme de quantités très petites, mais qui ne tendent
pas vers zéro, et l'intégrale I, qui est la limite de
cette somme dans les conditions indiquées. Lorsque cette limite n'existe
pas, la fonction f(x) n'est pas intégrable dans l'intervalle
considéré; si elle existe, on dit qu’elle est intégrable,
ou encore que l'intégrale a un sens sur a,b. De
même, il ne faut pas confondre une intégrale définie
même si ses limites a et b deviennent infinies et
qui, si elle existe, est toujours un nombre réel, avec l'intégrale
indéfinie 
,
qui est une fonction définie à une constante près. Par
exemple, sachant que la fonction 
admet pour dérivée 
l'intégrale indéfinie 
représente les fonctions :
(C : constante quelconque).
En revanche, l'intégrale définie 
est le nombre 
.
À quoi servent les intégrales ? (mais non pas à rien)
Le calcul d'une intégrale indéfinie se ramène à
un calcul de primitives; le calcul du nombre 
comporte :
1 - le calcul d'une primitive F(x) de f(x)
2 - le calcul de l'expression F(b) - F(a), qui
donne la valeur ,
Ce calcul est appelé une intégration ; il se fait par
diverses méthodes, exposées dans les traités usuels.
Toute grandeur, mathématique ou physique, qui est la limite d'une
somme 
quand
tend vers zéro,
peut être calculée par une intégration qui donne la limite
I de S. C'est le cas de la longueur d'un arc de courbe, de l'aire
d'une courbe, d'un moment d'inertie par exemple, et de nombreuses autres grandeurs
physiques.
Remarques
Une fonction de plusieurs variables f(x,y) ou f(x,y,z) par exemple est susceptible d'être intégrable non plus entre les deux limites a et b d'une variable, mais dans un domaine de points, à deux ou trois dimensions, désigné par le symbole D.
On est alors conduits à des intégrales multiples définies sur un domaine D, de la forme :
Dans le cas d'une fonction analytique f(z) d'une variable complexe z, on peut aussi définir l'intégrale de cette fonction dans un " domaine G " ou " le long d'une courbe " (intégrales curvilignes) ; l'étude des fonctions analytiques, qui repose sur une proposition appelée théorème de Cauchy ne sera pas exposée ici se reporter aux traités usuels.