Analyse
Géométrie différentielle

Théorie dont l'objet est l'étude des propriétés d'une surface courbe au voisinage d'un de ses points ou d'un de ses éléments caractéristiques ; elle peut être métrique ou projective. Dans le premier cas, elle étudie la mesure des distances et des angles et, d'une manière générale, les propriétés qui restent invariantes par un déplacement; dans le second cas, elle étudie les propriétés invariantes pour la transformation projective générale.

Un point M appartenant à une courbe, plane ou gauche, est défini sur l'espace ³ par ses coordonnées ; l'équation de la courbe est alors de la forme, en appelant t un paramètre :

et la longueur d'un arc de courbe au voisinage de M(x, y, z) est donnée par :

Étant donné deux points M₁, et M₂ de la surface courbe C, voisins de M, on appelle plan osculateur de C en M la position limite du plan MM₁M₂ quand M₁, tend vers M₂; le cercle MM₁M₂ est alors le cercle osculateur ou cercle de courbure en M.

Une surface S peut être définie avec deux paramètres t et u par les équations :

Une courbe C sur la surface S est définie par une équation de la forme ; un arc de cette courbe a pour longueur ds :

E, F, G étant des coefficients. Le deuxième membre de cette égalité est la première forme quadratique de la surface S. La deuxième forme quadratique de cette surface est l'expression :

dans laquelle D, D' et D" sont des coefficients. Des relations entre les six coefficients E, F, G, D, D', D " on peut tirer diverses conclusions quant à la forme de la surface considérée.

Enfin, en tout point M d'une surface courbe S, il passe une courbe dont le plan osculateur contient la normale en M à la surface, qu'on appelle une géodésique : le plus court chemin d'un point A à un point B sur une surface courbe S est la géodésique passant par A et B (sur un plan, les géodésiques sont toutes des droites ; sur une surface sphérique, ce sont des grands cercles de la sphère). La notion importante de géodésique a été établie par Bernoulli en 1617; les équations des géodésiques ont été trouvées par Euler et par Lagrange entre 1770 et 1780 ; les problèmes de courbure ont été définis par Monge (1799) et approfondis par ses disciples Charles Dupin (entre 1813 et 1822) et Meusnier.

La théorie moderne des surfaces, point de départ de la géométrie différentielle, a été découverte par Gauss. La géométrie différentielle moderne remonte aux travaux de Riemann (1854) ; la théorie des formes quadratiques est due à Beltrami, Christoffel et Lipschitz, dans la seconde moitié du 19^ième siècle, qui aboutissent aux travaux de Schwarz, Bonnet, Darboux, Poincaré (1881-1886) et de Sophüs Lie (1886-1896). Quant à la géométrie projective différentielle, elle a été développée au 20^ième siècle, notamment par l'École italienne de mathématiques ses développements ultimes se rattachent à la topologie.