Analyse
Formules de Taylor et de MacLaurin
Ces formules, établies au début du 18ième
siècle par Taylor (1715), Stirling (1717) et MacLaurin permettent de
développer les fonctions qui admettent des dérivées continues
d'ordre 1, 2, 3, .... n dans un intervalle a,b et une
dérivée d'ordre n + 1 sur a,b; ces
développements sont un moyen précieux pour calculer les
valeurs des fonctions, pour rechercher leur limite quand on est en présence
de formes indéterminées de type 
ou 
par exemple
et pour l'étude locale des fonctions (recherche des asymptotes).
Formule de Taylor
avec a < c < b. Le dernier terme est parfois appelé reste de la formule de Taylor après n termes; s'il tend vers zéro quand n croît indéfiniment, le membre de droite de la formule devient une série entière infinie, appelée série de Taylor, et on l'écrit sans reste :
En posant b = a + h, et avec 
,
la formule de Taylor s'écrit ainsi :
Formule de MacLaurin
Dans le cas où 0 est compris dans l'intervalle a, b, pour tout x tel que a < x < b, on peut écrire la formule de Taylor sous la forme suivante, dite formule de MacLaurin:
