Analyse
Fonctions logarithmes Népérien
Cette fonction tire son nom de John Napier, dit Néper, inventeur des logarithmes en 1614, à cette époque Napier voyait dans les logarithmes un instrument de calcul pour simplifier les calculs trigonométriques; la fonction logarithme est devenue l'une des fonctions fondamentales de l’analyse.
Définition géométrique
Considérons le graphique de la fonction y
=1 / x pour x > 0; c’est une branche hyperbole, dont les
asymptotes sont les axes Ox et Oy. L’aire S comprise
entre la courbe, l’axe des X, l'ordonné fixe aA telle
que
Oa = + 1 et l'ordonné variable
mM telle que Om = x est une fonction de x, on la nomme
logarithme népérien Ln x. On voit sur la figure ci-après
que, puisque S = Ln x :
la fonction Ln x est définie et continue dans l'intervalle 0,+
¥ ;
(bien entendu, il ne suffit pas de voir tout cela se démontre vigoureusement),
d'où une définition générale de la fonction Ln
x: c'est une fonction définie sur l’intervalle 0, +¥
, qui s'annule pour x = l et qui admet comme dérivé,
sur tout l'intervalle, la fonction y' =
1/x.
Propriété
La propriété fondamentale des logarithmes s’exprime par la relation:
On en déduit, pour tout m entier ou fractionnaire, positif ou négatif la relation suivante (vraie en fait pour tout réel m)
Systèmes de logarithmes
Étant donné un réel a quelconque, on appelle " Logarithme du réel x > 0 dans un système de base a " le nombre:
Si l’on choisit a tel que Ln a = 1, le logarithme est dit Népérien Dans ce cas, la valeur de a est représentée par la lettre e et par définition :
On écrit donc:
Si a = 10, le logarithme est dit décimal et l’on a : log10l0 = 1 (on écrit lg 10 = 1 conventionnellement).
Si a = 2, le système est dit binaire et l'on a : log22 = 1.