Analyse
Fonctions hyperboliques

Définition

Par analogie avec les fonctions circulaires et leur expression exponentielle, on définit, en analyse, les fonctions hyperboliques. Soit la courbe définie par l'équation :

(c'est une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont les bissectrices des axes Ox et Oy) et soit un point M mobile sur cette courbe. Appelons t le double de l'aire du secteur AOM, considérée comme positive si OM tourne dans le sens direct (indiqué par la flèche) et comme négative dans le cas contraire; quand M est en A, on a évidemment t = 0.

Cherchons maintenant à définir deux fonctions u et v telles que l'on ait, comme sur le cercle (voir Fonctions circulaires)

Ces deux fonctions seront appelées cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique de la variable t; on démontre qu'elles valent :

Dérivées des fonctions hyperboliques, fonctions inverses

Les dérivées de u et v sont :

et

On définit aussi la tangente hyperbolique par :

elle admet pour dérivée :

La fonction inverse, y, de sh t est telle que sh y = t , elle vaut :

et sa dérivée est :

La fonction inverse de ch t est la fonction y telle que : ch y =1 d'où :

et :