Analyse
Fonction

Pour la définitions générales des fonctions voir l’article fonction de la théorie des ensembles, nous nous consacrons ici à l'usage des fonctions dans le cadre large de l'analyse.

Fonction algébrique

Fonction f qui est racine de l'équation , où est l'inconnue, et où est un polynôme en x et y ; une fonction qui n'est pas algébrique est dite transcendante. Les fonctions rationnelles, dont les images sont définies à l'aide des seules opérations , sont des fonctions algébriques. Une fonction comme est aussi une fonction algébrique, car solution du polynôme . En revanche, les fonctions exponentielles, circulaires, hyperboliques, sont des exemples de fonctions transcendantes.

Fonction analytique

Sens général (selon Lagrange, 1797) : fonction qui peut se représenter par la somme d'une suite de puissances, telle la formule de Taylor; sens restreint (selon Lagrange, 1797) : fonction d'une variable complexe f(z) admettant une dérivée, en tout point d'un domaine G, ensemble ouvert dans contenant le point z, et ceux du disque . L'insuffisance de la définition de la notion de limite a retardé l'étude des fonctions d'une variable complexe jusqu'à la définition célèbre de Cauchy sur la convergence, en 1814.

Fonction composée

Fonction de la forme y = f(u) dont la variable est elle-même une fonction u(x) d'une autre variable x. On peut alors écrire :

F(x) est une fonction composée ou encore une fonction de fonction. Si l'on appelle f(u) la dérivée de y par rapport à u et u'(x) la dérivée de u par rapport à x, le théorème des fonctions composées permet d'écrire :

c’est-à-dire

Ainsi, pour la fonction y = (x² - 5)³, on a u = (x² - 5), et l'on peut écrire :

d’où

Fonction factorielle n

Cette fonction, définie sur l'ensemble des entiers, se note n! et vaut :

Fonction holomorphe

Une fonction d'une variable complexe (fonction analytique) est dite holomorphe si son intégrale curviligne le long d'un contour fermé C, est nulle.

Fonction inverse

Soit f et deux fonctions :

et

telles que (en appelant x les éléments de E et y les éléments de F )

si alors et si alors

Les fonctions f et sont dites inverses ou réciproques. Exemples :

Fonction monogène

Caractère d'une fonction d'une variable complexe f(z) dans un domaine G. La définition de la dérivée en un point z, de G suppose que la distance , diminue indéfiniment, c'est-à-dire que z tende vers z₀, mais elle ne tient pas compte du chemin suivi par z pour se confondre avec z₀. S'il existe, en chaque point z, de G, une dérivée pour f(z) quel que soit le chemin suivi par z pour se confondre avec z₀, la fonction est dite monogène dans G. Si, en outre, f(z) est représentée par une série entière de la variable autour de chaque point , elle est alors analytique (il y a donc des fonctions monogénes qui ne sont pas analytiques).

Fonction monotone

Fonction qui est constamment croissante ou décroissante dans un intervalle E (on dit qu'elle est " monotone sur E ").

Fonction périodique

Une fonction f(x) est dite périodique s'il existe un nombre tel que :

P est la période de la fonction.

Fonction transcendante

Fonction qui n'est pas algébrique (voir ce terme).