Analyse
Espace vectoriel normé

On appelle norme une application d'un espace vectoriel E (sur ou sur ) vers , notée , qui vérifie les trois conditions suivantes :
Pour tout x de E,si et si seulement x = 0,
Pour tout x et y de E, ,
Pour tout scalaire et pour tout x de E, ,
L'image d'un vecteur par une telle application est appelée norme du vecteur considéré.

Un espace vectoriel muni d'une norme est un espace vectoriel normé. Par exemple, le corps des réels peut être muni d'une structure d'espace vectoriel sur lui-même. La fonction valeur absolue, y définit une norme; en effet  :

Tout espace muni d'une norme peut être alors muni d'une distance définie par :

Sur ⁿ on définit ainsi la distance euclidienne D(x, y) dans une base orthogonale :

Si dans un tel espace (métrique) toute suite de Cauchy est convergente, il est dit espace de Banach (un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy est convergente, est dit complet : un espace de Banach est donc un espace vectoriel métrique complet).