Analyse
Espace euclidien

Soit ⁿ un espace vectoriel. Ajoutons à cette structure la loi de composition suivante, appelée produit scalaire: le produit scalaire de deux vecteurs x et y est le nombre tel que :

x, et y, étant les composantes des deux vecteurs. L'espace ⁿ est devenu un espace euclidien à n dimensions, qu'on appelle Eⁿ pour le différencier de la structure ⁿ (qui ne contient pas le produit scalaire). Le nombre positif :

est la longueur en norme du vecteur x.

L'introduction du produit scalaire permet d'utiliser, en outre, les notions d'angle, d'aire, de volume, d'orthogonalité et de retrouver ainsi toutes les propriétés des géométries euclidiennes à n dimensions. En particulier, la géométrie plane à deux dimensions est la science d'un espace euclidien E², usuellement appelé plan euclidien, dont chaque point correspond à un vecteur à deux composantes (x₁, x₂), qui sont les coordonnées du point considéré.