Analyse
Équations différentielles

Généralités

On appelle équation différentielle une équation dont l'inconnue est une fonction y et dans laquelle figurent des dérivées et/ou des différentielles dy, d²y, ... de cette fonction. La fonction y cherchée peut être soit une fonction d'une seule variable y = f(x), soit une fonction de plusieurs variables, telle que :

Toute fonction y vérifiant une équation différentielle donnée est une solution particulière de l'équation; l'ensemble de toutes les solutions particulières est la solution générale de l'équation proposée. On appelle ordre d'une équation différentielle l'ordre de la dérivée la plus élevée figurant dans l'équation : si cette dérivée est y', il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre; si c'est y", c'est une équation différentielle du second ordre; et ainsi de suite. Enfin, une équation différentielle est dite linéaire si tous ses termes sont du premier degré, et du second degré, du troisième degré, etc., selon le plus haut degré de ses termes.

Par exemple, le principe fondamental de la dynamique dit que tout point matériel de masse m auquel on applique une force constante de grandeur F se meut d'un mouvement uniformément accéléré d'accélération a. Or, si x(t) est la fonction donnant la position du mobile en fonction du temps t sur une droite x'x, on démontre en mécanique que l'accélération a est la dérivée seconde de cette fonction, soit a = x"(t). La loi fondamentale de la dynamique s'écrit donc :

F= mx"(t)

c'est une équation différentielle linéaire du second ordre, dont la solution est la fonction x(t) décrivant le mouvement de la particule.

Remarque

Il faut souligner que la solution générale d'une équation différentielle fait apparaître des constantes arbitraires exprimant les conditions du problème. Par exemple, dans le cas de l'équation différentielle précédente, on peut poser les deux conditions arbitraires suivantes :

1 - au temps t = 0, la particule est à l'origine O du repère ; ce qui s'écrit: x(0) = 0
2 - au temps t = 0, la particule est immobile, c'est-à-dire que sa vitesse initiale .

Avec ces deux conditions, la solution de l'équation proposée est la fonction :

Si l'on avait posé, au temps t = 0, et , la solution cherchée aurait été :

Lorsqu'on pose de telles conditions, appelées conditions initiales, et si la variable de la fonction cherchée appartient à un espace de Banach (voir la définition de cette structure), il est possible de démontrer que l'équation différentielle proposée a une solution unique. Cette démonstration se fait par référence à un important théorème de l'analyse, le théorème du point fixe.

Historique

Les équations différentielles ont fait leur apparition en mathématiques en même temps que les dérivées, avec les travaux de Newton et de Leibniz ; celui-ci a intégré(résolu) l'équation différentielle linéaire, homogène et du premier ordre, en 1693. Euler a trouvé la solution de l'équation linéaire, homogène ou non, du n-ième ordre et à coefficients constants, de la forme :

en 1739 par une méthode dite " de la variation de la constante " systématisée par Lagrange en 1778. Ce n'est qu'au 19^ième siècle qu'on a posé le problème général de l'existence et de l'unicité de la solution générale d'une équation différentielle. Cauchy (1844) a démontré, le premier, l'existence de la solution ; Picard (l890) a mis au point la méthode d'approximations successives et Banach en a établi la forme abstraite pour un espace métrique en 1922(pas si vieux n’est ce pas ?).

Résolution des équations différentielles

Tout bachelier digne de ce nom est capable de résoudre l'équation différentielle linaire du premier ordre :

y' = a

a étant une constante. Il sait, en effet, que la fonction y = ax admet y' = a pour dérivée, ce qui lui fournit une solution particulière de l'équation proposée. Il sait aussi que la fonction y = ax + C^te, admet pour dérivée a, ce qui lui fournit la solution générale de l'équation proposée. Mais, en général, la résolution des équations différentielles est un problème difficile, auquel se sont attaqués, pendant plus de deux siècles, les meilleurs mathématiciens, qui ont parfois donné leur nom à certaines méthodes de résolution d'équations particulières (équation de Clairaut, équation de Bernoulli, etc.) On trouvera l'exposé de ces méthodes dans les traités d'analyse usuels. Signalons ici le cas des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants, de la forme :

ou

Pour les résoudre, il faut faire intervenir l'équation du second degré :

dite équation caractéristique. Selon le signe de son discriminant on résoudra l'équation proposée, conformément au tableau ci-après.