Analyse
Discontinuité d'une fonction

Comme la notion de continuité, celle de discontinuité est d'abord intuitive. Elle est aisée à saisir lorsqu'il s'agit d'une fonction numérique d'une variable réelle, telle que, par exemple:

Quand x tend vers 1 par valeurs supérieures à 1 telles que :

1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 etc.

le dénominateur (x – 1) tend vers 0 tout en restant positif ; la fonction tend alors vers et l'on écrit, par convention :

Quand x tend vers 1 par valeurs inférieures à 1 telles que :

0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 etc.

le dénominateur tend vers zéro, mais il reste négatif, et l'on écrit, toujours par convention :

on ne peut pas écrire, et l'on dit, dans ce cas, que f(x) est discontinue pour x = 1.
Plus généralement, étant donnée une fonction définie sur l'ensemble E, et une valeur , de la variable :
- si, la fonction est dite continue pour
- si et , sont finis et différent on dit que présente une discontinuité pour et que est une discontinuité de première espèce. La différence :

s'appelle le saut de la fonction au point ; si, de plus :

la discontinuité est dite régulière ;

- si l'une des deux valeurs ou , est infinie, ou si elles sont toutes deux infinies, ont dit que, est une discontinuité de deuxième espèce (c'est le cas de notre exemple ci-dessus).