Analyse
Développement des fonctions en série
Considérons la fonction 
et supposons que nous voulions calculer sa valeur pour x = 0,5. Nous
pouvons procéder de deux manières :
- soit par substitution directe, en remplaçant x par sa valeur, ce
qui donne: 
- soit en développant
et en substituant la valeur 0,5 dans la fonction développée,
ce qui donne :
(développement);
(substitution
dans la fonction développée).
En fait, dans la pratique courante, la méthode par substitution directe est de beaucoup la plus simple quand il s'agit de fonctions algébriques, mais, pour calculer des fonctions transcendantes, ou interviennent, par exemple, des fonctions trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou autres, il est préférable, et même, bien souvent, nécessaire, de la remplacer par une série, c'est-à-dire par une somme de n termes aussi nombreux qu'on le désire. On obtient ainsi une valeur approchée de la fonction aussi précise qu'on le veut.
Dès la fin du 17ième, siècle, les algébristes cherchèrent à développer les fonctions sous forme de séries, mais sans y parvenir d'une manière générale (théorème de Rolle et théorème des accroissements finis). Ce sont les disciples britanniques de Newton qui ont résolu le problème : Brook Taylor en 1715, Stirling en 1717, MacLaurin en 1742 (il a retrouvé la formule de Stirling), Abraham de Moivre.