Analyse
Dérivée

La notion de fonction dérivée y' = f(x) (notation introduite par Lagrange en 1772) d'une fonction y = f(x) est un des fondements de l'analyse; elle a été introduite par Newton, à partir de 1665, pour les besoins de la mécanique, mais divulguée par ce savant plusieurs années plus tard, et par Leibniz à partir de 1672 (Leibniz a aussi introduit la notation). Elle avait, auparavant, été présentée par Fermat et par Pascal, pour résoudre le problème de la détermination de la tangente à une courbe en un point.

Définition

Soit une fonction y = f(x) d'une variable réelle x, définie dans un intervalle ouvert a, b et un nombrecompris entre a et b ; appelons h l'accroissement de la variable qui change celle-ci en nombre compris lui aussi entre a et b. La fonction passe de la valeur à celle de. Écrivons le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable :

Lorsque ce rapport possède une limite finie L pour h tendant vers 0, nous disons que la fonction f(x) est dérivable pour x = x, et nous écrivons :

Le nombre réel est le nombre dérivé de la fonction y = f(x) au point et la fonction est la dérivée de f.

Commentaire

Représentons l'ensemble des réels par une droite infinie (la droite des réels), et plaçons-y le nombre . La définition de la dérivée pour , implique que la fonction f(x) soit définie sur un Voisinage de ; ce voisinage contient, donc un intervalle I auquel appartient , et sur lequel f(x) est définie.

Dans l'intervalle I, on peut considérer deux intervalles ouverts et , et étant un réel strictement positif ; les trois nombres n'appartiennent pas à ces deux intervalles, qui sont disjoints. La réunion de ces deux intervalles est un ensemble que nous noterons . Dire que la limite L existe c'est dire que, pour tout x appartenant à , la différence (en valeur absolue) :

est inférieure à tout fixé à l'avance, ce qui s'écrit symboliquement :

Notons, de plus, que toute fonction dérivable sur un intervalle a, b est continue sur cet intervalle; la réciproque de cette proposition n’est toutefois pas vraie.

Notation différentielle

La dérivée f’(x) d'une fonction dans un intervalle de définition donné peut aussi s'écrire

Le quotient est appelé quotient différentiel (voir la définition d'une différentielle). Le symbole est un facteur qui affecte la fonction f ; on peut donc aussi écrire :

Dérivées successives

La dérivée est la dérivée première de la fonction f(x) ; c'est aussi une fonction de x, qui peut admettre une dérivée appelée dérivée seconde de f(x)

On définit ainsi la dérivée troisième, quatrième, ... n-ième d’une fonction :