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Analyse
Critère de Cauchy

Le « critère de Cauchy » est couramment confondu avec la « règle de Cauchy » afin d'éviter toute ambiguïté il est donc important de faire la différence entre la règle et le critère de Cauchy.

La règle de Cauchy

Est une condition relative à la convergence des séries dans un espace de Banach (espace vectoriel normé et complet) et permettant d'étudier la convergence d'une série à termes positifs (une série S_n est la somme des n premiers termes d'une suite dont le terme général est x_n ) ; étant donné la série

on cherche la limite de pour n tendant vers Si , la série est convergente ; si , la série est divergente ; si , on ne peut se prononcer.

On remarquera qu'il s'agit simplement de la généralisation de la règle de d'Alembert.

Le critère de Cauchy

Ce critère détermine simplement que dans un espace métrique, toute suite convergente est une suite de Cauchy. Une suite (s_n), dans un espace métrique satisfait le critère de Cauchy (est une suite de Cauchy) si et seulement si Dans un espace métrique, une suite convergente est nécessairement de Cauchy, dans un espace métrique complet, toute suite de Cauchy est convergente ce qui se traduit par "lorsque l’espace est complet, le critère de Cauchy est équivalent à la convergence" d'où l'intérêt de ce critère.