Analyse
Courbure

La notion intuitive de courbure est familière à n'importe quel automobiliste : un virage peut être plus ou moins "rapide", le tracé d'une route "tourne" plus ou moins fortement. En géométrie, la forme d'une courbe peut être appréciée par le changement de direction de la tangente quand le point de contact M décrit la courbe : si l'on appelle l'angle que la tangente en un point M fait avec l'axe Ox du repère orthonormé et l'angle de la tangente en un point voisin M', on mesure la courbure totale de l'arc de longueur par la différence

et la courbure moyenne entre M et M'est le rapport
Dans le cas d'un cercle de rayon R, par exemple, puisque les tangentes en M et M' sont perpendiculaires aux rayons OM et OM, du cercle, l'angle des tangentes (orienté dans le sens de parcours ) est égal à l'angle au centre . Si on mesure les angles en radians et les longueurs en unités longueur (en mètres, en centimètres, etc.), la longueur de l’arc est donnée par la relation :

et la courbure moyenne entre M et M' a pour valeur:

Ce rapport est constant quels que soient M et M', et en particulier, lorsque M' tend vers M, on a :

La quantité est, par définition, la courbure du cercle R au point M, et le rayon R est le rayon de courbure du cercle; ces deux grandeurs sont constantes en tout point du cercle.

Dans le cas d'une courbe quelconque (C), nous définirons de la même façon :
- la courbure totale de l'arc par
- la courbure moyenne de l'arc par
Cependant, là s'arrête la comparaison avec la courbure d'un cercle; en effet, la courbure de la courbe (C) varie tout au long de la courbe et le rapport n'est pas constant en général (sauf dans les régions de la courbe où celle-ci est un arc de cercle). La courbure en un point M est aussi définie par le quotient différentiel :

mais c'est une grandeur variable (on la mesure en radians par mètre: rad/m).

Si l'on appelle x et y les coordonnées du point M et y = f(x) la valeur de la fonction représentée graphiquement par la courbe (C), l'angle est déterminé par:

(c'est la pente de la tangente MT ) ; on a d'autre part, quand M' tend vers M :

De ces deux relations, On tire :

Par analogie avec le cercle, on appelle rayon de courbure au point M l'inverse de K, soit:

mais il faut bien comprendre que R n’est en général pas constant. En chaque point M de la courbe (C) on peut construire un cercle de centre porté par la normale à la courbe au point M et de rayon C'est le cercle osculateur (ou cercle de courbure) de la courbe en ce point.