Analyse
Continuité d'une fonction
La notion de continuité est intuitive : une courbe qu'on peut tracer sans lever la main qui tient le crayon est "continue" ; si le tracé est interrompu en un point et reprend en un autre, on parle de "discontinuité" au point de rupture. On peut donner diverses définitions formelles de la continuité d'une fonction.
Définition de Cauchy (1821)
Une fonction f(x), partout définie entre deux valeurs limites de x, reste continue entre ces limites si, entre ces limites, un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la valeur de la fonction.
Autre expression de la définition de Cauchy
Soit f une application de l'ensemble E, auquel appartient
une variable x, dans l'ensemble F auquel appartient la valeur
f(x) de la fonction considérée ; dotons ces deux
ensembles d'une métrique et soit 
un point fixe non isolé (c'est-à-dire qui peut être le
centre d'une boule), la fonction f(x) est dite continue pour
si la limite de f(x) quand x tend vers a
est f(a) :
Autrement dit, la fonction f est continue en
si et seulement si quel que soit 
,
il existe toujours 
tel que :
implique 
Définition utilisant la théorie des limites et celle des suites convergentes
f(x) est continue pour x = a si, à toute suite convergente xn tendant vers a, correspond une suite convergente f(x) tendant vers f(a). Tout point tel que a est appelé point de continuité.