Analyse
Condition de Cauchy - Riemann

En mathématiques et plus spécifiquement en analyse, les équations de Cauchy-Riemann définissent une condition nécessaire pour qu'une fonction différentiable dans le corps des réels le soit également dans le corps des complexes.

Newton, Leibniz ont peut être posé en premier ces équations, mais les premiers écrits vont à d'Alembert dès 1752 qui les déposa dans la fameuse Encyclopédie de Diderot et d'Alembert avec les premières bases des mathématiques différentielles modernes, ce qui permettra plus tard à Euler (1797) de relier ce même système avec les fonctions analytiques.

Il faudra attendre 1814 date à laquelle Cauchy va utiliser ces équations pour construire sa célèbre théorie des fonctions et démontrer qu'une fonction de variable complexe est holomorphe en fonction de sa dérivabilité il en déduira que toute fonction holomorphe est différentiable au sens des variables réelles. Il démontra également par réciproque que toute fonction holomorphe est infiniment dérivable.

Riemann développera ces équations et créera la théorie des fonctions algébriques et développa (généralisa) la théorie des fonctions de variables complexes, initialement introduite par Cauchy. Il approfondira cette théorie en 1857, en faisant progresser la théorie des fonctions abéliennes.

Les travaux des deux derniers mathématiciens fait, qu’aujourd’hui encore on désigne ce couple d’équation par les « Équations de Cauchy Riemann », ou que nous décrivons les conditions qui y font références par les « Conditions de Cauchy-Riemann ».

Soit z = x + i y une variable complexe et f une fonction de la variable complexe z, dont l'expression est de la forme :

f(z) = u+iv (u et v réels, fonctions de x et y et i²=-1);

On démontre que, pour toute valeur , de la variable pour laquelle la dérivée existe, on a les relations suivantes entre les dérivées partielles :

Réciproquement, ces relations garantissent la dérivabilité de la fonction f(z) en un point z, Elles sont appelées conditions de Cauchy – Riemann.