Analyse
Asymptote

L'Asymptote : tangente à l'infini

En mathématique, une définition de l'Asymptote serait : « Droite dont une courbe ou une branche de courbe se rapproche indéfiniment sans jamais la rencontrer ». ou plus techniquement une « tangente à l'infini ». Littéralement le terme Asymptote vient du grec sun (avec) et piptein (tomber). L'idée étant de décrire qu'en allant vers l'infini, un objet se rapproche de plus en plus de l'Asymptote. Et tombera avec lui dans l'infini. On préférera cette dernière définition plutôt que de parler de « droite » ce qui est réducteur (on se limite à deux dimensions, et une Asymptote peut être une fonction...) car une Asymptote n'a pas de dimension propre, mais existe dans toutes les dimensions où la notion d'objet mathématique existe.

Comprendre cette notion dans R²

Pour comprendre simplement imaginons que nous avons une courbe correspondante au tracé d'une fonction, l'asymptote serait une ligne droite qui s'approche indéfiniment de cette courbe sans jamais ni la couper ni la toucher.

Asymptote Verticale, Asymptote Horizontale, Asymptote Oblique

Même si le terme Asymptote n'a pas réellement de notion de verticale ou d'horizontale, on emploi souvent le terme Asymptote verticale lorsque la « droite asymptote » est dessinée verticalement, réciproquement lorsque le tracé de cette même droite est horizontal on parle d'Asymptote horizontale, lorsque le tracé n'est ni vertical ni horizontal on parle alors d'Asymptote oblique.

Une fonction peut avoir plusieurs Asymptotes, c'est le cas par exemple de la fonction f(x) = 1/x dont les ordonnées sont Asymptote verticale, et les abscisses Asymptote horizontale.

Vous noterez cependant que nous n'avons ici abordé que la définition d'une Asymptote dans R² mais il existe bien évidement des asymptotes dans des dimensions supérieures !

Intérêt d'une asymptote

Nous n'allons pas évoquer ici tous les cas où le calcul d'une asymptote est utile (en mécanique, astrophysique etc. ) sinon il faudrait rajouter plusieurs téraoctets à notre serveur web ! Nous allons décrire le principal intérêt par un exemple dans R². Imaginez que l'asymptote à l'infini que vous avez calculé pour votre fonction F soit une droite qu'on peut représenter par l'équation : f(x) = 2x + 9, à l'infini votre fonction F peut donc être grossièrement représentée par cette fonction f. L'intérêt est donc l'approximation au voisinage de l'infini, on sait que votre fonction F vaut en gros 9 + « 2 infini » à l'infini et si nous devons comparer son comportement par rapport à une autre fonction W à l'infini ceci simplifiera grandement les calculs pour déterminer par exemple, laquelle des deux se rapprochera plus vite de l'autre à ce voisinage.