Algèbre
Calcul sur le corps des nombres complexes

Rappelons que deux nombres complexes z = a + bi et z' = a - bi sont dits conjugués ; on a zz' = a² + b²(on vérifiera qu’il s’agit du théorème de Pythagore). Sous sa forme trigonométrique, un nombre complexe s'écrit :

( : module; argument), et l'on a (Pythagore encore une fois),

Produit

Si z et z' sont deux nombres complexes quelconques tels que et alors :

Quotient

Si z et z' sont deux nombres complexes quelconques tels que et alors :

Élévation à la puissance n

On montre que :
pour .
Dans le cas où = 1, on obtient la formule de Moivre (1730) :

Forme exponetielle d'un nombre complexe

Pour = 1, on en tire les formules d'Euler :

Racines

Un nombre complexepossède n racines n-ièmes z vérifiant l'équation :

Ces n solutions s'écrivent :

avec k = 0, 1, 2, ... (n - 1).

Racines carrée et cubique de i . On remarque que le module de i est 1 et son argument. D'où les racines carrées de i :

et les racines cubiques de i :

Racines n-ièmes de l'unité. En appelant a la racine n-ième de 1 obtenue en faisant k = 0 dans la formule générale donnée ci-dessus, on montre que toutes les solutions de l'équation zⁿ = 1 sont de la forme, avec k = 0, 1, 2, ... 1 (n - 1).