Équation
Résolution des équations du troisième degré : méthode Tartaglia-Cadran

La méthode de Tartaglia-Cardan repose sur une série de "trouvailles" et d'idées astucieuses.

Méthode générale de résolution

- On divise tous les termes par a (), ce qui donne l'équation suivante, équivalente à l'équation proposée

(1) :

- On remplace x par l'inconnue z, telle que transformation qui a pour effet de faire disparaître le terme en x² et de conduire à l'équation équivalente :

(2) :

- Pour résoudre (2), on pose , et l'on obtient l'équation :

(3) :

- Si vérifie (2) et si , on aboutit au système suivant

(4) :

qui 'écrit aussi :

(5) :

u³ et u³ dont ont connaît la somme, S = - q, et le produit, P = sont racines de l'équation du second degré suivante :

(6) :

dont le discriminant est :

Les racines (réelles ou complexes) de (5) sont

et

L'une de ces racines, par exemple t', est égale à u³ ; l'autre à v³ ; on a donc et , d'où, puisque :

,

formule(en apparence assez compliquée) connue sous le nom de formule de Cardan.

- Soit, par exemple, u³ = t'; alors, comme nous l'avons dit, . Mais, puisque nous sommes dans le champ complexe, nous devons tenir compte de ce qu'un nombre complexe comme t' possède trois racines cubiques ; si l'on nomme l'une d'elles (réelle ou complexe), les deux autres sont , et j, étant les racines cubiques complexes de l'unité. On a alors :

, , ;

et, comme , on en déduit

Finalement on obtient les trois racines :

, ,

les coefficients étant supposés complexes.

Cas où les coefficients p et q sont réels

C'était le cas traité par Cardan. La résolution de l'équation , conduit à résoudre l'équation du second degré , dont le discriminant est du même signe que (la division par 27 n'intervient sur le signe de ). En utilisant des résultats sur l'équation du second degré dans le cas de coefficients réels, nous voyons que :
- Si , t' et t" sont des racines réelles ; par conséquentest réelle. Mais les deux autres racines cubiques de t', à savoir et, sont complexes (nous n'avons pas le droit de les oublier !). Donc z, est réel, z² et z³ sont complexes conjuguées.
- Si , t' = t" = nombre réel ; donc est réel et et sont, ici encore, complexes conjugués.
- Si , t' = t" (c'est-à-dire u³ et v³) sont complexes conjugués, ainsi donc que u et v puisque le produit uv est réel et égal à ; donc z = u + v est réel et l'équation admet trois racines 3 réelles, z₁, z₂, z₃,