Algèbre linéaire
Structure de l'ensemble des matrices carrées d'ordre n

Les matrices carrées sont des matrices à n lignes et à n colonnes ; leur ensemble peut être muni de deux lois de composition interne, l'addition et la multiplication par un scalaire, définies comme précédemment. Ces lois ont les propriétés suivantes (uniquement dans cet ensemble, bien entendu) :

1 - L'addition est toujours possible ; elle est associative et commutative.
2 - Il existe un élément neutre pour l'addition, la matrice nulle 0 dont tous les éléments sont nuls ; on a alors :

3 - Toute matrice carrée A d'ordre n a une opposée -A par référence à l'addition, telle que A + (-A) = 0.
4 - La multiplication de deux matrices carrées d'ordre n est toujours possible (la condition de dimensions est toujours vérifiée) ; elle est associative et distributive par rapport à l'addition, mais elle n'est pas commutative en général ().

5 - L'élément neutre pour la multiplication est la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont tous égaux à 1 (matrice unité).

Ces propriétés font de l'ensemble des matrices carrées d'ordre n un anneau non commutatif.