Algèbre
Déterminants
Tous les collégiens ont appris à résoudre
les équations du premier degré à une inconnue, de la
forme. 
. On leur a aussi appris
que la fonction f : 
qui associe au réel quelconque x la valeur 
pouvait
être représenté par une ligne droite dans un repère
de coordonnées cartésiennes. De sorte que les expressions "
ligne droite " et " premier degré " sont devenues
synonymes en mathématiques : l'algèbre qui étudie des
combinaisons du premier degré est appelée, pour cette raison, algèbre linéaire.
Lorsque l'algèbre était limitée à la théorie des équations, c'est-à-dire, en gros, jusqu'en 1830-1840, le "premier degré " était un chapitre mineur de cette branche des mathématiques. Toutefois, pour résoudre des systèmes d'équations du premier degré à plusieurs inconnues (deux équations à deux inconnues, trois équations à trois inconnues, ..., n équations à n inconnues), les mathématiciens ont été amenés à définir un processus de calcul (un algorithme) baptisé déterminant par Gauss en 1801, après les premiers travaux de Cramer (1750), Bezout (1764), Vandermonde (1772) et Lagrange (1773) sur cette question. La théorie moderne du déterminant a été établie par Cayley, en 1841.
Un déterminant est une combinaison linéaire
(c'est-à-dire du premier degré) associée à un
tableau carré de nombres (ou d'êtres mathématiques susceptibles
d'être traités comme des nombres). Par exemple le tableau
suivant
:
a pour déterminant le nombre D ainsi défini:
qui a pour valeur D = -1. Pour ne pas confondre le
tableau carré (qui, ici, a pour dimensions 2
2,
mais qui peut aussi être de la forme 33,
44, .... nn) avec le déterminant qui lui est associé, on écrit
le déterminant entre deux barres verticales ainsi :
est le déterminant de
Dans le cas d'un système de n équations à n inconnues, de la forme (pour n = 3 par exemple) :
le tableau (carré) des coefficients de ces trois équations est noté :
et on lui associe le déterminant D, dit du troisième ordre (n = 3) :
La valeur de D se calcule selon des règles simples que lon trouvera dans tous les traités élémentaires. Lorsque n est grand, le calcul est long et fastidieux ; il peut être fait à l'aide d'un ordinateur(ce qui est bien plus rapide) ou à la main, en tenant compte alors des propriétés du déterminant, qui permettent de le simplifier. Le calcul d'un déterminant est un calcul linéaire, car il ne comporte que des opérations du premier degré sur les coefficients a, b, ...