Algèbre
Principales structures algébriques

Principales structures algébriques

Une structure qui comporte au moins une loi de composition interne est une structure algébrique ; si elle en comporte au moins deux, c'est une algèbre.

Monoïde

Un ensemble E muni d'une loi de composition interne et associative "" et possédant un élément neutre e pour cette opération est dit muni d'une structure de monoïde. On représente cette structure, en abrégé. par (E, , e). Si l'opération "" est commutative, le monoïde est dit commutatif ou abélien ; sinon, il s'agit d'un monoïde non commutatif.

Exemples de monoïdes : ( ,, 0) ; ( ,, 1) ; (,, 0) ; (,, 1). (On vérifiera aisément qu'il s'agit de monoïdes commutatifs).

Structure de groupe

Un groupe est un monoïde dont tous les éléments x possèdent un symétrique pour l'opération définissant le monoïde; on le note (G, , e). Si l'opération "" est commutative, il s'agit d'un groupe commutatif ; si le groupe G contient un nombre n fini d'éléments, c'est un groupe fini d'ordre n, La loi de composition "" est souvent notée "" (groupe additif ) ou "" ( groupe multiplicatif ). Dans le premier cas, l'élément neutre est noté " 0 " et le symétrique d'un élément x est son opposé -x : dans le second cas, l'élément neutre est noté " 1 " et le symétrique d'un élément est son inverse x-1(çà peut paraître inutile de le rappeler mais certaine personnes confondent opposé et inverse, alors que c’est comme vous pouvez le constater totalement différent).

Structure d'anneau

Un ensemble E est dit muni d'une structure d'anneau si on définit dans cet ensemble deux lois de composition internes notées "" et "", auxquelles correspondent deux éléments neutres, respectivement notés e et e', et telles que

1 - le triplet (E, , e) soit un groupe abélien
2 - le triplet (E,, e') soit un monoïde
3 - l'opération "" soit distributive à droite et à gauche par rapport à l'opération; pour tout (x, y, z) appartenant à E, on a alors :

x(yz) = (xy)(xz),
(yz)x = (yx)(zx).

L'opération "" est associative et commutative (elle définit un groupe abélien) ; on la note généralement par le signe "", avec e = 0. L'opération "" est associative (puisqu'elle définit un monoïde), mais elle n'est pas nécessairement commutative ; on la note " x ", avec e'= 1.

Par exemple, l'ensemble des entiers relatifs, muni des opérations "" et "" classiques, admettant respectivement pour éléments neutres 0 et 1, est un anneau.

On peut écrire cette structure en abrégé sous la forme du quintuplet : (,,, 0, 1). Comme les éléments de sont des nombres, on dit qu'il s'agit d'un anneau numérique ; on vérifiera aisément que le quintuplet
( ,,, 0, 1). est aussi un anneau numérique ( est l'ensemble des réels). L'opération "" étant en outre commutative, ces anneaux seront dits abéliens (c'est le cas pour les ensembles , , et ).

Structure de corps

Considérons maintenant un ensemble E muni de deux lois de composition interneset , auxquelles correspondent respectivement les éléments neutres e et e', et conférant au quintuplet (E,,, e, e') une structure d'anneau. Si nous imposons à la deuxième loi d'être telle que, à tout x de E différent de e, il correspond un symétrique de x pour cette loi, le quintuplet (E,,, e, e') est alors muni d'une structure de corps dont les axiomes se résument ainsi :

1 - (E,, e) est un groupe abélien,
2 - (E^*, , e')est un groupe (non nécessairement abélien),
3 - "" est distributive par rapport à "".

Explicitons les axiomes de cette structure

1 - E est un ensemble non vide.
2 - E est muni d'une loi de composition interne, partout définie, associative et commutative, notée "".
3 - Il existe un élément neutre e dans E pour cette loi.
4 - Tout x de E est symétrisable pour cette loi, le symétrique de x est noté -x.
5 - E est muni d'une deuxième loi de composition interne, partout définie, associative (mais non nécessairement commutative), notée " "
6 - Il existe un élément neutre e' dans E pour cette loi.
7 - Pour toutet appartenant à E, il existe un symétrique relatif à cette deuxième loi de composition, noté x^-1 et appelé inverse de x.
8 - La deuxième loi est distributive par rapport à la première.

Remarques :

- Si la deuxième loi de composition définissant un corps est, elle aussi, commutative, le corps est un corps commutatif (il est dit non commutatif dans le cas contraire) et, dans ce cas, l'inverse peut se noter.

- Il résulte de la définition des groupes abéliens que les deux triplets (E,, e) et (E, , e') définissant un corps commutatif sont deux groupes abéliens.

- Un corps est donc un anneau complété par l'axiome n° 7 ci-dessus.