Algèbre
Structure d'espace vectoriel
Généralités
Les lycéens connaissent les notions de vecteurs géométriques
à 2 ou 3 dimensions. Un vecteur géométrique à
2 dimensions, par exemple, est représentable par un couple de deux
nombres réels (x1, x2) qui sont
les composantes de ce vecteur ; un vecteur à trois dimensions possède
trois composantes (x1, x2, x3)
on définit, en géométrie, deux opérations sur
les vecteurs : l'addition géométrique (ou " composition
des vecteurs ") et la multiplication par un scalaire. Soit, par
exemple, deux vecteurs
et
, tels que:
et
La somme de ces deux vecteurs est un vecteur
tel
que
Par ailleurs, le vecteur 
(
étant
un nombre réel, ou, comme on dit usuellement, un " scalaire ")
est tel que:
Plus généralement, on peut définir des vecteurs à n dimensions :
sur lesquels on peut opérer de la même façon
; mais de tels vecteurs ne peuvent pas être représentés
géométriquement(essayez de faire la représentation graphique
d’un vecteur quelconque ayant 4 dimensions possible mais pas facile ni évident
à interpréter, imaginer la représentation graphique en
16 ou 39 dimensions... ceci relève de l’impossible). Un ensemble de vecteurs
est appelé un espace vectoriel sur un corps K, l'ensemble K
pouvant être numérique (par exemple K = 
) ou non numérique. Par exemple, l'ensemble des vecteurs géométriques
à deux dimensions est un espace vectoriel de dimension 2 sur
le corps des réels ; mais ce n'est là qu'un cas très
particulier d'espace vectoriel.
Définition axiomatique
Soit E un ensemble dont les éléments x,
y... seront nommés vecteurs et soit un corps K dont
les éléments seront désignés par les lettres grecques
, 
etc.
Définissons dans E une loi de composition interne additive telle
que E soit munie de la structure de groupe abélien (E,
+, 0) et une loi de composition externe faisant correspondre à tout
couple (x,)
de 
un
élément de E décrit par 
L'ensemble
E est dit muni d'une structure d'espace vectoriel sur le corps K
Cette définition correspond aux axiomes suivants, en appelant x,
y, z des éléments quelconques de
E et ,
des éléments
quelconques du corps K :
1 - L'ensemble E est un ensemble non vide,
2 - x + y = y + x (l'opération "+" est commutative),
3 - (x + y) + z = x+( y + x ) = x + y + z (l'opération " +" est associative),
4 - Il existe dans E un élément 0 (vecteur nul) tel que, pour tout x de E, x + 0 = 0 + x = x.
5 - Pour tout x de E, il existe un symétrique -x dans E tel que : x + (-x) = 0.
8 - Il existe dans K un élément neutre " 1 " tel que, pour tout x de E:
1x = x
9 - 
Les axiomes 1 à 5 définissent le groupe abélien (E, +, 0); les axiomes 6 à 9 concernent la loi de composition externe.
Exemple
L'ensemble des vecteurs géométriques usuels du
plan (ou de l'espace) forme un espace vectoriel sur
de dimension 2 (ou 3). À chaque vecteur v d'un tel espace
correspond un unique représentant ayant pour origine un point O
fixé. Chaque point M du plan affine est l'extrémité
d'un unique vecteur d'origine O.
Soit K un corps; appelons Kn l'ensemble des n-uplets d'éléments de K, et notons v ces n-uplets : v = (x1, x2,...,xn).
On peut donner à Kn une structure d'espace vectoriel sur K en définissant deux lois de composition (addition et multiplication par un scalaire appartenant à K); Kn est un espace vectoriel de dimension n.