Algèbre
Base d'un espace vectoriel

Système générateur (famille génératrice).

Soit E un espace vectoriel sur un corps K, et S = v₁, v₂,..., v_n un système quelconque de vecteurs E. Considérons l'ensemble F des combinaisons linéaires des éléments de S :

On démontre que F a une structure d'espace vectoriel sur K ; il constitue un sous-espace vectoriel de E, qui est dit engendré par S. Les vecteurs v₁, v₂,..., v_n forment un système générateur (ou une famille génératrice) de ce sous-espace.

Famille libre

Un système S de vecteurs de E forme une famille libre de E si et seulement si la seule combinaison linéaire de S égale au vecteur nul, est celle obtenue en prenant tous les coefficients égaux à zéro :

Base d'un espace vectoriel

On appelle base B d'un espace vectoriel E toute famille libre et génératrice de E. Un vecteur v quelconque de E s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire les vecteurs de B. En algèbre moderne élémentaire, on rencontre principalement des espaces vectoriels admettant des bases ayant un nombre fini d'éléments ; dans ce cas, on démontre que toutes les bases d'un espace vectoriel ont le même nombre n 'éléments : ce nombre est appelé la dimension de l'espace vectoriel.

Exemple

Dans l'espace géométrique usuel, trois vecteurs non coplanaires,,forment une base : tout vecteurs'écrit de manière unique :

x, y et z sont les coordonnées (ou composantes) du vecteurdans la base(,,). L'espace est de dimension 3 (on dit souvent " à 3 dimensions ").

Si K est un corps, on a vu que l'on pouvait munir Kⁿ, d'une structure d'espace vectoriel sur K; cet espace est de dimension n, car tout vecteur v=(x₁, x₂,..., x_n) peut s'écrire de manière unique à partir du système des n vecteurs :

en effet, v = (x₁, x₂,..., x_n) s’écrit :

La base (e₁, e₂, ..., e_n) est appelée base canonique de l'espace Kⁿ.

Isomorphisme

Un isomorphisme est une application d'un espace vectoriel dans un autre, possédant des propriétés particulières importantes. Lorsqu'il existe une telle application entre deux espaces vectoriels E et E', on dit qu'ils sont isomorphes ; tous les calculs et toutes les propriétés de l'un ont leurs équivalents dans l'autre.

Pour que deux espaces vectoriels soient isomorphes, il faut et il suffit qu'ils aient la même dimension. L'image de toute base de l'un par l'isomorphisme est une base de l'autre ; inversement, un isomorphisme est entièrement déterminé par la donnée de deux bases correspondantes.

Application : tout espace vectoriel de dimension 2 est isomorphe à ² ; tout espace vectoriel de dimension 3 est isomorphe à ³ ; par la suite, nous assimilerons donc fréquemment le plan ou l'espace géométrique vectoriel à ² ou ³.